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On Vandermonde’s theorem, and some more general expansions. (English) JFM 38.0313.01
Die übliche Form des Vandermondeschen Theorems:
\[ \binom{p+q}{s}= \binom{p}{s}+\binom{p}{s-1}\binom{q}{1}+\cdots+\binom{q}{s} \tag{1} \]
dividiere man durch \(\binom{p}{s}\), setze \(\alpha\) für \(q\), \(s+\gamma\) für \(p\); dann geht (1) über in
\[ \frac{(\alpha+\gamma+1)(\alpha+\gamma+2) \dots(\alpha+\gamma+s)}{(\gamma+1)( \gamma+2)\dots(\gamma+s)}=1+\frac{\alpha . s}{1.(\gamma+1)}+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdot s(s-1)}{1\cdot 2\cdot(\gamma+1)(\gamma+2)}+\cdots. \tag{2} \]
Wenn sowohl \(\alpha\), als auch \(s\) positive ganze Zahlen sind, ist die linke Seite von (2) symmetrisch in \(\alpha\) und \(s\); auf diese Symmetrie und auf die Bedingungen für die Identität zweier rationalen ganzen Funktionen desselben Grades gründet sich der Beweis für jedes \(\alpha\) ganz einfach mittels der mathematischen Induktion. Die Methode wird verallgemeinert; indem \(s\) immer eine positive ganze Zahl ist, wird also die Funktion \[ \frac{(\alpha+\gamma+1)\dots(\alpha+\gamma+s)}{(\gamma+1)\dots(\gamma+s)} \times\frac{(\beta+\gamma+1)\dots(\beta+\gamma+s)}{(\alpha+\beta+\gamma+1) \dots(\alpha+\beta+\gamma+s)} \] in der Form entwickelt: \[ 1+A_{1}\frac{\alpha s}{\alpha+\beta+\gamma+s}+A_{2}\frac{\alpha(\alpha-1).s(s-1)}{(\alpha+\beta+\gamma+s)(\alpha+\beta+\gamma+s-1)}+\cdots, \] wo die Koeffizienten \(A_{1},A_{2},\dots\) unabhängig von \(s\) und \(\alpha\) sind; in der Tat ist \[ A_{n}=\frac{\beta(\beta-1)\dots(\beta-n+1)}{1.2\dots n(\gamma+1)(\gamma+2)\dots(\gamma+n)}. \] Hiervon werden Anwendungen auf die hypergeometrische Reihe gemacht; auch werden manche anderen Entwickelungen von noch allgemeinerer Form behandelt. Unter den besonderen Fällen befindet sich eine Formel für die Summe der Kuben der Koeffizienten für die Reihenentwickelung von \((1-x)^{-c}\) [A. C. Dixon, Proc. Lond. Math. Soc. 35, 284–289 (1903; JFM 34.0490.02)]. Einige Verallgemeinerungen der Ergebnisse werden mit Hülfe des Cauchyschen Residuenkalküls erhalten.

MSC:
33C20 Generalized hypergeometric series, \({}_pF_q\)
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