On the theory of linear and nonlinear integral equations. I: Expansion of arbitrary functions by fixed function systems. II: Solution of the general linear integral equation. (Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I. Teil: Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener. II. Teil: Auflösung der allgemeinen linearen Integralgleichung.) (German) JFM 38.0377.02

Schmidt, Erhard

Math. Ann. 63, 433-476 (1907); 64, 161-174 (1907).

Der erste Teil: “Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener” ist fast ganz ein Abdruck der Inaugural-Dissertation (1905) des Verfassers, über die in [JFM 36.0461.03], ausführlich berichtet worden ist.
Hinzugekommen ist das vierte Kapitel, in dem folgendes Problem untersucht wird. Die Entwicklung von Funktionen zweier Veränderlicher nach Potenzen, nach trigonometrischen Funktionen, nach Kugelfunktionen usw. lassen sich in Gestalt von Reihen schreiben, welche nach Produkten einer Funktion der einen Veränderlichen mit einer Funktion der anderen Veränderlichen fortschreiten. Ist nun eine stetige Funktion von zwei Veränderlichen \(s\) und \(t\) gegeben, so wird man fragen, welches System von höchstens \(m\) Paaren einer stetigen Funktion von \(s\) und einer stetigen Funktion von \(t\) die Eigenschaft hat, daßdie Summe ihrer Produkte die gegebene Funktion \(K(s,t)\) möglichst gut approximiert; als Maßder Approximation, dessen Minimum gesucht wird, wird wie üblich das Doppelintegral über das Fehlerquadrat genommen. Es zeigt Funktionen des unsymmetrischen Kernes \(K(s,t)\) gebildet wird. Für das Maßder besten Approximation ergibt sich der Ausdruck: \[ M_{m}=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}(K(s,t))^{2}\,ds\,dt-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{1}{\lambda_{\nu}^{2}}, \] wo die \(\lambda_{\nu}\) die \(m\) ersten Eigenwerte des Kernes durchlaufen; wenn \(m\) ins Unendliche wächst, nähert sich \(M_{m}\) der Grenze Null.
Hinzugefügt ist ferner der \(\S\) 13 des dritten Kapitels, in dem gezeigt wird daßsich jede unsymmetrische lineare Integralgleichung durch eine einfache Substitution auf eine symmetrische zurückführen läßt. Diese Reduktion ist sehr wichtig, weil man auf diese Art die bekannten Sätze über symmetrische Integralgleichungen auf unsymmetrische übertragen kann. Allerdings ist das ein indirektes Verfahren, und man wird wünschen, ohne diesen Umweg zum Ziel zu kommen. Wie sich dies ermöglichen läßt, zeigt Verf. in dem zweiten Teil seiner Abhandlung. Hier wird eine neue, elementare Auflösungsmethode auseinandergesetzt, die auch dem numerischen Gebrauche anpassen läßt, und die sogar den Zugang zu den nicht linearen Integralgleichungen und den Verzweigungen ihrer Lösungen eröffnet. Hierauf ist der Verf. in dem inzwischen erschienenen dritten Teil seiner Abhandlung [Math. Ann. 65, 370–399 (1908; JFM 39.0399.03)] ausführlich eingegangen.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Karlsruhe)

MSC:

45-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to integral equations
45A05	Linear integral equations
45Gxx	Nonlinear integral equations

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Differenzenrechnung. B. Funktionalgleichungen.

Citations:

JFM 36.0461.03; JFM 39.0399.03

References:

[1]	?Grundzüge einer allgemeinen Theorei der linearen Integralgleichungen? 4te und 5te Mitteilung, Göttinger Nachrichten 1906.
[2]	?Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener?, Inauguraldissertation, Göttingen 1905. · JFM 36.0461.03
[3]	Math. Ann. 63, S. 433?476.