Über orthogonale Funktionensysteme. (German) JFM 38.0421.01

Riesz, F.

Gött. Nachr. 1907, 116-122 (1907).

Bilden \(\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dots\) ein normiertes Orthogonalsystem für das Intervall \((a,b)\), d. h. ist \[ \int_{a}^{b}\varphi_{p}(x)\varphi_{q}(x)dx=0 \quad \text{für} \quad p\neq q, \quad \quad \int_{a}^{b}\varphi_{p}(x)^{2}dx=1, \] so kann man bekanntlich jeder samt ihrem Quadrate integrablen Funktion \(f(x)\) abzählbar unendlichviele analog den Fourierkoeffizienten gebildete Zahlen \[ a_{p}=\int_{a}^{b}f(x)\varphi_{p}(x)dx \] zuordnen, deren Quadratsumme \(\sum_{(p)}^{}a_{p}^{2}\) notwendig konvergiert; dabei kann man die Integrale im gewöhnlichen (Riemannschen) oder im Lebesgueschen Sinne verstehen. Im letzteren Falle gilt nun aber auch die Umkehrung: Jedes System von Zahlen \(a_{1},a_{2},\dots\) mit konvergenter Quadratsumme stellt die Fourierkoeffizienten einer gewissen samt ihrem Quadrat in Lebesgueschen Sinne integrierbaren Funktion dar.
Der vom Verf. angedeute Beweis dieses für die Theorie der Orthogonalfunktionen grundlegenden Satzes erledigt zunächst den Fall trigonometrischer Orthogonalfunktionen durch Approximation mit Hülfe harmonischer Funktionen unter Benutzung eines diese betreffenden Fatouschen Hülfssatzes; zu beliebigen Orthogonalsystem kann man dann vermöge des bekannten Satzes über die Darstellung des Produktintegrales zweier Funktionen als Summe der Produkte ihrer (eigentlichen) Fourierkoeffizienten leicht übergehen. Übrigens gilt der Satz auch allgemein für jedes auf einer ein- oder mehrdimensionalen meßbaren Punktmenge definierte Orthogonalsystem, dessen Funktionen samt ihrem Quadrate im Lebesgueschen Sinne integrabel sind. – Von Folgerungen des Theorems wird hervorgehoben, daß jedes in dieser Auffassung “abgeschlossene” Orthogonalsystem (d. h. es gibt auch keine im Lebesgueschen Sinne nebst ihrem Quadrate integrable zu allen \(\varphi_{p}\) orthogonale Funktion mehr) auch “vollständig” ist, d. h. es gilt für je 2 samt ihrem Quadrat integrable Funktionen: \[ \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\sum_{p=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f(x)\varphi_{p}(x)dx\int_{a}^{b}g(x)\varphi_{p}(x)dx. \] Für ein solches vollständiges System ist \(f(x)\) durch seine Fourierkoeffizienten wesentlich eindeutig (bis auf eine willkürliche additive Funktion vom Integrale Null) bestimmt. – Endlich wird das Theorem auf Integralgleichungen angewandt, wo es offenbar nach dem Hilbertschen Übergang zu Gleichungen mit abzählbar unendlichvielen Unbekannten gestattet, die Lösung der Integralgleichung ganz direkt aus der Lösung jenes Gleichungssystems zu finden.

Reviewer: Hellinger, Dr. (Marburg)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.