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Über polynomische Entwicklungen II. (German) JFM 38.0439.01

In einer früheren Abhandlung (F. d. M. 34, 430, 1903) hatte Faber gezeigt, daßman eine analytische Funktion \(F(x)\), die in einem einfach zusammenhängenden, endlichen, von einem einzigen regulären Kurvenzuge begrenzten Gebiete \(S\) überall regulär ist, für alle Punkkte des Innern von \(S\) in der Form einer Summe von Polynomen: \[ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(x) \] darstellen kann, wo die Polynome \(P_{n}(x)\) ausschließlich von dem gegebenen Regularitätsgebiete \(S\) abhängen, dagegen die Koeffizienten \(a_{n}\) allein durch die zu entwickelnde Funktion \(F(x)\) bestimmt werden. Schon damals hatte Faber auf die Ähnlichkeit dieser polynomischen Entwicklungen mit den Reihen, die nach Kugelfunktionen einer komplexen Veränderlichen fortschreiten, hingewiesen und in Aussicht gestellt, seinen Satz so zu erweitern, daßer auch die Kugelfunktionen umfasse. Das geschieht in der vorliegenden Abhandlung. Die Beweise beruhen wiederum auf dem Cauchyschen Integralsatz, dann aber auch auf einer von Hadamard herrührenden Verallgemeinerung dieses Satzes, die letzterer benutzt hatte, um den Zusammenhang zwischen den Singularitäten der Funktionen \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}\) und \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n}x^{n}\) festzustellen. Zum Schlußwird eine Vermutung über die Möglichkeit gewisser Null-Entwicklungen bewiesen, die Faber in der ersten Abhandlung geäußert hatte (wobei sich ein Zusammenhang mit früheren Untersuchungen von Pincherle herausstellt); endlich wird eine Anwendung der allgemeinen Ergebnisse auf die Legendreschen Polynome gegeben.

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References:

[1] Math. Ann. Bd. 57 (1903), p. 389-408, im folgenden stets als I zitiert.
[2] Annali di Matematica (2) 12 p. 112ff.
[3] Acta math. 22 (1898). · JFM 29.0056.02
[4] Journal de Liouville (3) Bd. 4 (1878).
[5] a. a. O. Annali di matematica (2) 12, p. 112ff.
[6] Freilich bezieht sich diese Aussage nur auf jene Singularitäten, die in irgend einem endlichen Punkt auf demersten Blatt der Riemannschen Fläche für die möglicherweise unendlich vieldeutige FunktionF(x) liegen. Man vgl. auch in diesem Zusammenhang: Faber: Über Reihen nach Legendreschen Polynomen (Jahresber. d. D. Math.-Ver. 1907) u. Bemerkungen zu einem funktionentheoretischen Satze des Hrn. Hadamar (ebenda).
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