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Sur les intégrales passant par un point singulier d’une équation différentielle. (French) JFM 39.0373.01

Die Differentialgleichung \[ (1)\qquad Y(x, y) dy + X (x, y) dx = 0, \] wo \(X\) und \(Y\) holomorphe Funktionen von \(x\) und \(y\) sind, welche für \(x = 0, y = 0\) verschwinden, wird durch die Substitution \(y = tx^\nu\) im allgemeinen in die Gleichung \[ (2)\qquad x(at^{q-1} + \cdots)dt + (bt^q + \cdots) dx=0 \] transformiert, wo die nicht hingeschriebenen Glieder für \(x = 0\) verschwinden; \(a\) und \(b\) sind zwei Konstanten, von denen eine Null sein kann; \(q\) ist eine positive ganze Zahl. Die transformierte Gleichung hat immer diese Form, wenn \(\nu\) eine irrationale Zahl ist, und diesem Falle ist die vorliegende Untersuchung gewidmet. Wenn in den Integralen \(y(x)\) der Gleichung (1) die Variable \(x,\) in der komplexen Ebene variierend, gegen Null konvergiert, so gelten die folgenden beiden Sätze: 1. Wenn (was im allgemeinen der Fall) \(b \neq 0\) ist und die durch (2) definierte Funktion \(t(x)\) gegen eine Grenze konvergiert, so ist diese Grenze 0 oder \(\infty\). 2. Ist \(b = 0,\) so konvergiert \(t(x)\) notwendig gegen eine Grenze, wenn \(x\) nach Null geht. – Zum Beweise dieser Sätze wendet Verf. zwei Formen des allgemeinen Integrales von (2) an, die auch in anderen Fällen von Nutzen sein können.
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Full Text: DOI Numdam EuDML