Ein Ergänzungssatz zur Cauchyschen Integraldarstellung analytischer Funktionen, Randwerte betreffend. (German) JFM 39.0460.01

Plemelj, J.

Monatsh. für Math. u. Phys. 19, 205-210 (1908).

Bekanntlich ist eine Funktion der komplexen Veränderlichen \(z\) vollständig bestimmt, wenn ihre Werte auf der Begrenzung \(C\) eines zusammenhängenden Bereiches gegeben sind, in dem sie sich überall regulär verhält, und zwar werden ihre Innenwerte durch die Cauchysche Integraldarstellung geliefert. Die Wahl jener Randwerte ist jedoch gewissen Beschränkungen unterworfen. Wie man sofort erkennt, mußz. B. die längs der Randkurve gegebene Funktion stetig sein; diese Bedingung ist jedoch zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Ist \(f (\zeta)\) eine auf \(C\) stetige Funktion, so wird zwar durch den Cauchyschen Ausdruck \[ F(z) =\frac 1{2\pi i}\;\int_{(C )} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta -z} \] sowohl in dem Innen-, als auch in dem Außengebiet der Randkurve \(C\) je eine dort überall reguläre Funktion \(f^+(z)\) und \(f^-(z)\) dargestellt, jedoch brauchen die Randwerte dieser Funktionen auf \(C\) keineswegs mit der Funktion \(f (\zeta)\) übereinzustimmen. Man vergleiche hierzu die Abhandlung von G. Morera, Intorno all’ integrale di Cauchy (Lomb. Ist. Rend. (2) 22, 191-200; F. d. M. 21, 278, 1889, JFM 21.0278.03), die dem Verf. der gegenwärtigen Arbeit wohl entgangen ist.
Unter der Voraussetzung, daß die Randkurve \(C\) überall eine Normale besitzt, ergibt sich als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(f^+(z)\) der Randwert einer regulär-analytischen Innenfunktion ist, das Verschwinden des Ausdrucks \[ F^- (z) = - f^+ (z) + \frac 1{\pi^i}\;\lim_{\varepsilon =0} \int_{(C )} \frac{f^+ (\zeta) (\zeta - z) d\zeta }{(\zeta -z)^2 + \varepsilon^2}; \] der Grenzwert für \(\varepsilon = 0\) existiert jedenfalls, wenn \(f(\zeta)\) so stetig ist, daß in zwei benachbarten Punkten \(\zeta_1, \zeta_2\) von \(C\) der Unterschied der Werte \(f (\zeta_1)\) und \(f (\zeta)\) den Kleinheitsgrad \(|\zeta_1-\zeta_2|^{|\mu|}\) hat wo \(|\mu| > 0\) ist; in diesem Fall ist sogar der Grenzwert in gleicher Weise wie \(f(\zeta)\) stetig. Wenn aber \(F^-(z)\) nicht verschwindet, so ist es der Randwert einer regulär-analytischen, im Unendlichen verschwindenden Außenfunktion.
Soll ferner \(f^-(z)\) der Randwert einer regulär-analytischen Außenfunktion mit dem Werte \(c\) im Unendlichen sein, so ist es notwendig und hinreichend, daß der Ausdruck \[ F^+ (z) = + f^- (z) + \frac 1{\pi i}\;\lim_{\varepsilon =0}\;\int_{(C)} \frac{f^- (\zeta) (\zeta - z) d\zeta }{(\zeta -z)^2 + \varepsilon^2}-2c \] verschwindet; für die Existenz des Grenzwertes gilt dasselbe wie vorher. Falls \(F^+ (z)\) nicht gleich Null ist, so läßt es sich als Randwert einer Innenfunktion auffassen.
Die von Plemelj angegebene Bedingung ist deshalb von Wichtigkeit, weil “sie den Schlüssel zu einem neuen Beweis für die Existenz von Funktionen mit der Verzweigung einer gegebenen \(n\)-blättrigen Riemannschen Fläche gibt und es ermöglicht noch allgemeinere Riemannsche Probleme zu lösen welche den auf Sätzen der Potentialtheorie beruhenden Methoden bisher unzugänglich sich erwiesen”; vgl. das folgende Referat (JFM 39.0461.01).

Reviewer: Stäckel, Prof. (Karlsruhe)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 21.0278.03; JFM 39.0461.01