On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by series of normal functions. (English) JFM 39.0476.02

Hobson, E. W.

Lond. M. S. Proc. (2) 6, 349-395 (1908).

Verf. will für die Konvergenz von Reihen nach Eigenfunktionen hinreichende Bedingungen von solcher Allgemeinheit aufstellen, wie sie nur bei den trigonometrischen Reihen, nicht aber in den bisher entwickelten allgemeinen Theorien (Hilbert, Kneser, Schmidt, Stekloff) erreicht worden ist. Er geht zu diesem Ende von dem folgenden allgemeinen Konvergenztheorem aus: \(f(x')\) sei im Lebesgueschen Sinne integrabel (aber nicht notwendig beschränkt), \(F(x', x, n)\) bleibe für alle \(n\) unter endlicher Grenze, solange \(|x' -x| \geqq \mu > 0,\) und das Maximum von \(\int_{\alpha_1}^{\beta_1} F(x', x, n) dx'\) für alle \(\alpha_1, \beta_1\) und alle \(x,\) die nur außerhalb \((\alpha_1-\mu, \beta_1 + \mu)\) liegen, konvergiere mit wachsendem \(n\) gegen Null; dann ist gleichmäßig in allen diesen Werten \(x\) \[ (1) \qquad \lim_{n=\infty} \int_{\alpha_1}^{\beta_1} f(x') F(x', x, n) dx'= 0. \] Der Bereich der zugelassenen Werte \(x', x\) kann dabei in verschiedener Weise bestimmt, auch bei passender Modifikation der Bedingungen unendlich sein. Auf dieser Grundlage werden nun die Bedingungen dafür hergeleitet, daß auch, falls \(x\) innerhalb des Intervalles \((\alpha_1, \beta_1)\) liegt, der Grenzwert (1) gleichmäßig konvergiert und die Gestalt \(P f(x + 0) + Q f(x - 0)\) hat.
Eine erste Anwendung dieses Satzes auf spezielle einfache Funktionen \(F\) führt sofort zur Ausdehnung bekannter Beweise des Weierstra ßschen Satzes über Approximation durch Polynome auf die hier zugelassenen Funktionen \(f (x')\). Weitere Anwendungen auf die trigonometrischen Reihen, insbesondere auf ihre Summation nach arithmetischen Mitteln ergeben sich unmittelbar.
Besondere Behandlung findet das Problem der Entwicklung nach Eigenfunktionen \(V_n\) einer Sturm-Liouvilleschen Differentialeleichung \(\frac d{dx} \left( k \frac{dV}{dx}\right) + (g\lambda - l) V = 0\) für ein reguläres Intervall; ist \(F(x)\) in Lebesgueschem Sinne integrabel, so ergibt sich Konvergenz der Reihe gegen \(\frac 12 [F(x + 0) + F(x - 0)],\) falls diese Grenzwerte existieren und falls \(F(x)\) in der Umgebung von \(x\) beschränkte Schwankung besitzt, und gleichmäßige Konvergenz in jedem Stetigkeitsintervall. Für den Fall singulärer Stellen werden als Typus die Legendreschen Polynome behandelt; als Bedingung für \(F(x)\) tritt noch hinzu, daß sie in der Umgebung der singulären Stellen \(x = \pm 1\) beschränkte Schwankung hat.

Reviewer: Hellinger, Dr. (Marburg)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.