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Problème du mouvement d’une masse fluide incompressible de la forme ellipsoïdale les parties s’attirent suivant la loi de Newton. (French) JFM 39.0804.02

Dieses Problem, dessen Behandlung durch Dirichlet 1860 nach seinem Tode (1859) veröffentlicht wurde (das also nicht, nach dem ersten Satze der Einleitung, von Dirichlet erst 1860 gestellt wurde) ist der Reihe nach von Riemann, Dedekind, Brioschi, Greenhill und Basset wieder aufgenommen worden. Ihren Untersuchungen reiht sich jetzt die Arbeit von Stekloff an.
Im ersten Kapitel wird eine allgemeine Methode angegeben zur Ableitung der Bewegungsgleichungen einer unzusammendrückbaren, in einer ellipsoidischen Membran enthaltenen Flüssigkeit. Unter Hinzunahme der Bedingung, daß der Druck in allen Punkten dieser Membran konstant bleibt, erhält man die Bewegungsgleichungen eines freien Flüssigkeitsellipsoids unter einer Form, die recht bequem für das Studium verschiedener Fragen ist, welche sich an das Problem von Dirichlet und Riemannknüpfen. Nimmt man ferner an, daß die Membran die Oberfläche eines Hohlraums ist, der einem festen Körper angehört, so leitet man daraus die Bewegungsgleichungen eines festen Körpers ab, der einen Hohlraum von ellipsoidischer Form, mit einer unzusammendrückbaren Flüssigkeit angefüllt, besitzt; dies führt zu einem hydrodynamischen Problem, dessen besonderer Fall für das Drehellipsoid 1878 von Joukovsky untersucht ist.
Mit Hülfe der in dem ersten Kapitel gewonnenen Gleichungen wird im zweiten Kapitel die vollständige Lösung der folgenden Aufgabe gegeben: Alle möglichen Fälle der Bewegung eines flüssigen Ellipsoids zu finden, wenn es während der Bewegung die Gestalt eines Drehellipsoids behält. Die eingehende Beschäftigung mit dieser Aufgabe hat den Verf. auf die neuen Fälle der nicht stationären Bewegung geführt, bei denen die freie Oberfläche des Ellipsoids während der Bewegung ihre Gestalt nicht ändert. Dieses Resultat stimmt nicht zu der Behauptung Riemanns, die er (Werke, S. 187) ohne Einschränkung ausgesprochen hat, “daß mit der Beständigkeit der Gestalt notwendig eine Beständigkeit der Bewegung verbunden ist”. Diese Unstimmigkeit und der Magel an genaueren analytischen Entwickelungen bei Riemann haben den Verf. zur Wiederbearbeitung des Problems veranlaßt.
Nachdem so im zweiten Kapitel die Bewegung des Drehellipsoids erledigt ist, wird im dritten Kapitel die Betrachtung auf den Fall beschränkt, bei welchem das Produkt \((b-c)(c-a)(a-b)=\delta\) von Null verschieden ist. Unter dieser voraussetzung wird der Riemannsche Satz wieder gefunden; dieser verliert aber seinen Sinn, sobald \(\delta\) Null wird, also im Falle des Drehellipsoids. Nach eingehenderer Erörterung aller möglichen Bewegungen, bei denen das dreiachsige Ellipsoids sich wie ein starrer Körper um sein Zentrum dreht, werden folgende Fragen gelöst: 1. Alle möglichen Fälle zu finden, bei denen die Translationsbewegung der Flüssigkeit sich auf die Rotation des Ellipsoids um eine seiner Hauptachsen reduziert, also ob es ein starrer Körper wäre. 2. Alle möglichen Bewegungen zu finden, bei denen das flüssige Ellipsoid während der Bewegung die Richtung seiner Achsen nicht ändert.
Einige Bemerkungen über gewisse allgemeine Eigenschaften der Differentialgleichungen des Problems machen den Beschluß. Bezüglich des Problems der Bewegung eies festen Körpers mit einem Hohlraum von ellipsoidischer Gestalt, der mit einer unzusammendrückbaren Flüssigkeit angefüllt ist, wird die Behandlung in einer besonderen Schrift in Aussicht gestellt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML