Über die Summabilität Dirichletscher Reihen. (German) JFM 40.0313.02

Bohr, Harald

Gött. Nachr. 1909, 247-262 (1909).

Ist \(\sum^\infty_1 u_n\) eine Reihe mit konstanten Gliedern, und wird \[ S^{(0)}_n = u_1+\cdots + u_n,\quad S^{(m)}_n=S^{(m-1)}_1 + \cdots + S^{(m-1)}_n \] gesetzt, so heißt \(\sum_{1!} u_n\) von \(r\)-ter Ordnung summabel mit dem Summabilitätswert \(S\), wenn \(\lim \frac{r!}{n^r}\,S^{(r)}_n=S\) ist.
Bohr zeigt die große Bedeutung, die diese mit der Summierung durch arithmetische Mittel völlig äquivalente Art der Summierung für die analytische Fortsetzung der durch eine Dirichletsche Reihe \(\sum a_nn^{-s}\) dargestellten Funktion \(f(s)\) besitzt. Er beweist in dieser Richtung eine große Anzahl von Sätzen, die in ihrer Gesamtheit etwa besagen, daß die genannte Art der Summierung für das Studium der Funktion \(f(s)\) in einem nach links wesentlich erweiterten Gebiete dasselbe zu leisten vermag wie die gewöhnliche Konvergenz in ihrem Gebiete.
Die Hauptresultate sind etwa folgende: 1) Das Gebiet der Summabilität \(r\)-ter Ordnung ist, wie das der Konvergenz, eine durch \(\sigma > \lambda_r\) charakterisierte Halbebene. Die Summabilität ist in jedem ganz im Innern der Halbebene gelegenen endlichen Gebiete gleichmäßig, und die dadurch erhaltenen Summenwerte liefern also die analytische Fortsetzung der im Konvergenzgebiet durch die Reihe definierten Funktion \(f(s)\).
2) Gliedweise Differentiation und Integration ändert im Innern der Halbebene die Ordnung der Summabilität nicht.
3) Ist die Reihe in einem Punkte \(s_0\) der Grenzgeraden \(\sigma=\lambda_r\) noch summabel von irgend einer Ordnung \(m\geqq r\) mit dem Werte \(A\), so ist bei Annäherung im Winkelraum \(\lim_{s=s_0} f(s) = A\).
4) Ist \(l\) die Grenzabszisse der absoluten Konvergenz der Reihe, und ist \(l >\lambda_r\), so ist für \(\sigma > \lambda_r +\alpha(\alpha> 0)\) \[ | f(s)| < K+| t|^{(r+1)}\;\frac{l-\lambda_r-\alpha+\varepsilon}{l-\lambda_r}\,, \] wobei \(K\) von \(s = \sigma + ti\) unabhängig und \(\varepsilon > 0\) beliebig klein ist.
5) Ist \(\lambda_r>0\), so ist \[ \lambda_r=\limsup_{n=\infty}\;\frac{\log|\frac{1}{n^r}\,S^{(r)}_n|}{\log n}\,. \] Alle bisherigen Sätze gehen in bekannte Sätze über, wenn man die Konvergenz als Summabilität 0-ter Ordnung ansieht.
6) Es ist für jedes \(r:1\geqq\lambda_r- \lambda_{r+1}\geqq\lambda_{r+1}-\lambda_{r+2}\geqq 0\), d. h. die Breiten der Summabilitätsstreifen nehmen monoton ab, und schon die des ersten ist nicht größer als 1. \(l\) reiht sich nicht in diese Folge ein.
7) Ist \(\lambda_{r-1}=1\), ist ferner für \(\sigma>\eta\) \((0 <\eta < 1)\) \(f(s)=O(| t|^{r+k})\), und ist \(c =\text{Max}(k,1-\eta)\), so ist \[ \lambda_r\geqq\frac{\eta+c}{1+c}\,. \] Aus 6) und 7) folgt dann der die Frage nach dem Summabilitätsbereich der Reihe befriedigend abschließende Hauptsatz:
8) Die Reihe ist genau so weit summabel, als die Funktion regulär und in bezug auf die Ordinate von endlicher Größenordnung bleibt.
Zum Schluß werden einige Anwendungen und Beispiele für die verschiedenen Möglichkeiten in der Verteilung der \(\lambda_r\) skizziert, und die Übertragung der Resultate auf verwandte Reihen (Fakultäten- und Binomialkoeffizientenreihen) wird angedeutet.

Reviewer: Knopp, K., Dr. (Berlin)

MSC:

30B50

Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

Keywords:

summability; Dirichlet series