Note on a new number theory function. (English) JFM 41.0226.04

Carmichael, R. D.

Amer. Math. Soc. Bull. (2) 16, 232-238 (1910).

Die vorliegende Note behandelt die Eigenschaften einer neuen zahlentheoretischen Funktion \(\lambda\), die mittels der Eulerschen \(\varphi\)-Funktion so definiert wird:
\(\lambda (p^a)=\varphi(p^a)\), wenn \(p\) eine ungerade Primzahl,
\(\lambda (2^a)=\varphi(2^a)\), wenn \(a=0,1,2;\;\lambda(2^a)=\frac 12\,\lambda(2^a)\), wenn \(a>2\),
\(\lambda(2^ap_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_i^{a_i})=\) dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen von \(\lambda(2^a),\;\lambda(p_1^{a_1}),\dots ,\lambda(p_i^{a_i})\), wo \(p_1,p_2,\ldots,p_i\) verschiedene ungerade Primzahlen sind.
Wenn \(x\) teilerfremd zu \(n\) ist, so folgt \(x^{\lambda (p^a)}\equiv 1\pmod{p^a}\). Folgende Sätze werden bewiesen:
1. Für jedes gegebene \(n\) wird die Kongruenz (1) \(x^{\lambda(n)}\equiv 1\pmod n\) durch jede zu \(n\) teilerfremde Zahl \(x\) befriedigt.
II. Für jede Kongruenz (1) existiert eine Lösung \(g\), die eine primitive \(\lambda\)-Wurzel ist, und für jede solche Lösung \(g\) gibt es \(\varphi\{\lambda(n)\}\) primitive Wurzeln, die Potenzen von \(g\) kongruent sind.
III. Ist \(\lambda(n)>2\), so ist das Produkt der primitiven Wurzeln in dem zu einem beliebigen \(g\) gehörigen System \(\equiv 1\pmod n\).
IV. Wenn \(x_1\) der größte Wert von \(x\) ist, der die Gleichung \(\lambda(x)=a\) befriedigt, so ist jede andere Lösung \(x_2\) ein Faktor von \(x_1\).
V. Wenn \(x_1\) und \(y_1\) bezw. die größten Wurzeln von \(\lambda^{-1}(ma) = y\), \(\lambda^{-1}(a)=x\) sind, wo \(a\) eine beliebige ganze Zahl, so ist \(y_1>x_1\).
VI. Es sei \(a\) jener Divisor von \(\alpha\), für den \(\lambda^{-1}(a)=x\) eine größte Lösung \(x_1\) hat, größer, als wenn für \(a\) irgendein anderer Divisor von \(\alpha\) genommen wird. Dann ist \(x_1\) der größte Divisor von \(z^a-1\) für jede zum Divisor teilerfremde Zahl \(z\).

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

MSC:

11A05	Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors
11A25	Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

Liouville function