×

Über das Verhalten von \(\zeta(s)\) und \(\zeta_k(s)\) in der Nähe der Geraden \(\sigma=1\). (German) JFM 41.0290.01

Es handelt sich um das Problem: Welches ist die obere Grenze der Zahlen \(\sigma_0\) mit der Eigenschaft, daß \(| \zeta(s)|\) (nach Ausschluß einer willkürlichen, aber im folgenden festen Umgebung des Punktes \(s=1\)) in der Halbebene \(\sigma>\sigma_0\) nicht beschränkt ist. Bisher war nur bekannt, daß sie \(\geqq\frac 12\), aber \(\leqq 1\) ist.
Es wird nun der Reihe nach festgestellt:
1. Schon in der Halbebene \(\sigma>1\) ist \(| \zeta(s)|\) nicht beschränkt.
2. Für jede Dirichletsche Reihe mit positiven Koeffizienten, deren Konvergenzgerade \(\sigma=\eta\) im Endlichen liegt, und die im Punkte \(s=\eta\) divergiert, gilt entsprechendes bezüglich der Halbebene \(\sigma>\eta\). Also ist speziell \(\zeta_k(s)\) für \(\sigma>1\) nicht beschränkt.
3. Es ist für \(\sigma>1\) nicht einmal \[ \zeta(s)=o(\log\,\log t). \]
4. Auch auf der Geraden \(\sigma=1\) ist nicht \(\zeta(s)=o(\log\,\log t)\). Durch Verbindung dieser Sätze mit den Picard-Landauschen Theoremen ergibt sich weiter:
5. In dem Bereiche \(1-\delta<\sigma<1+\delta\) (\(\delta>0\) beliebig) nimmt die Funktion \(\zeta(s)\) jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.
6. Es gilt sogar genauer: Die Gleichung \((\zeta(s)-a)(\zeta(s)-b)=0\) hat im Gebiete \[ 1-\frac{1}{(\log \log t)^a}<\sigma<1+\frac{1}{\log \log t)^a}\quad(t\geqq 3) \] unendlich viele Wurzeln. \(\alpha\) hängt hierbei von \(a\) und \(b\) ab.
7. Analoges gilt für die Funktion \(\zeta_k(s)\).

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML