Sur certains systèmes d’équations fonctionnelles et l’approximation des fonctions continues. (French) JFM 41.0458.03

Riesz, F.

C. R. 150, 674-677 (1910).

Die Gleichungen \(\int^b_a f_k (x) d\alpha (x) = c_k\;[k = 1, 2, 3, \dots ]\), in denen die \(f_k(x)\) (als stetige Funktionen) und die \(c_k\) gegeben sind, besitzen dann und nur dann eine Lösung \(\alpha\), deren totale Schwankung \(\int^b_a| d\alpha|\) die Grenze \(M\) nicht übersteigt, wenn für alle \(n\) und alle möglichen Zahlen \(\mu_k\) \[ \left| \sum^n_{k=1} \mu_kc_k \right| \leqq M\cdot \text{max.}\;\left| \sum^n_{k=1} \mu_kf_k(x)\right| \] ist. Dieser Satz gestattet mannigfache Anwendungen. Insbesondere folgt aus ihm: Damit sich jede stetige Funktion \(f\) durch gewisse Funktionen \(\varphi\) oder deren lineare Kombinationen approximieren läßt, ist notwendig und hinreichend, daß jede Funktion \(\alpha (x)\) von beschränkter Schwankung, die den sämtlichen Gleichungen \(\int^b_a \varphi (x) d\alpha (x)=0\) genügt, konstant ist, außer vielleicht für abzählbarviele Werte \(x\).

Reviewer: Weyl, Dr. (Göttingen)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.