The relations between Borel’s and Cesàro’s methods of summation. (English) JFM 43.0311.02

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.

Proc. Lond. Math. Soc. (2) 11, 1-16 (1912).

Die verschiedenen Summationsmethoden divergenter Reihen (Euler, Hölder, Cesàro, Borel, Riesz) haben alle einen beschränkten Anwendungsbereich: Ist eine Reihe \(\sum a_n\) gar zu divergent, so versagt die Methode. Bei der Cesàroschen z. B. muß \(\vert a_n\vert<n^k\), bei der Borelschen \(\sum \dfrac{a_nx^n}{n!}\) beständig konvergent sein, usw.
Erst in neuerer Zeit wurde bemerkt, daß auch die Feinheit der Methoden begrenzt ist, d. h. daß eine summierbare Reihe \(\sum a_n\) sogar im gewöhnlichen Sinne konvergent ist, wenn die \(a_n\) unterhalb gewisser Schranken liegen.
So weiß man, daß eine nach Cesàro summierbare Reihe sicher konvergiert, wenn \(na_n\to 0\). In einer früheren Arbeit [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 8, 301–320 (1910; JFM 41.0278.02)] hatte G. H. Hardy gezeigt, daß schon \(\vert na_n\vert<K\) dazu ausreicht.
Ähnliche Sätze werden in der vorliegenden Arbeit für die Borelsche Methode bewiesen; als wichtigster der Satz:
1. Ist \(\sum a_n\) summierbar (\(B\)) und \(\sqrt n a_n\to0\), so ist \(\sum a_n\) sogar konvergent,
Der Beweis ist so allgemein gehalten, daß sich sogleich eine ganze Reihe weiterer Sätze ergibt, die sämtlich von der Form sind: “Ist \(\sum a_n\) summierbar (\(B\)), und erfüllen die \(a_n\) gewisse Bedingungen bezüglich ihrer Größenordnung, so ist \(\sum a_n\) sogar summierbar (\(C\)).”
Die Anwendung dieser Sätze auf die Reihe \(\sum n^{-b}e^{in^a}\) führt zu interessanten Einzelresultaten.
Die Frage, ob der erste der genannten Sätze noch unter der geringeren Voraussetzung \(\vert\sqrt n a_n\vert <K\) seine Gültigkeit behält, bleibt offen.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

MSC:

40G10	Abel, Borel and power series methods
40G05	Cesàro, Euler, Nörlund and Hausdorff methods

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 41.0278.02