Contributions to the arithmetic theory of series. (English) JFM 43.0312.01

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.

Proc. Lond. Math. Soc. (2) 11, 411-478 (1912).

Es ist nicht ganz leicht, in einem kurzen Referat einen einigermaßen vollständigen Überblick über den Inhalt dieser bedeutenden und reichhaltigen Schrift zu geben.
Der Problemenkreis, um den es sich hier handelt, ist schon in drei früheren Arbeiten von den Verfassern in Angriff genommen worden: vgl. G. H. Hardy [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 8, 295–300 (1910; JFM 41.0278.01); 8, 301–320 (1910; JFM 41.0278.02)] und J. E. Littlewood [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 9, 434–448 (1911; JFM 42.0276.01)] und das vorstehende Referat [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 11, 1–16 (1912; JFM 43.0311.02)] (wo auch die meisten weiter unten benutzten Begriffe definiert sind). Der Ausgangspunkt aller dieser Untersuchungen ist der Abelsche Grenzwertsatz oder besser dessen Umkehrung von Tauber: Wenn \(\displaystyle\lim_{x=1}\sum a_n x^n\) existiert und \(\displaystyle\lim_{n=\infty }na_n=0\) ist, so ist \(\sum a_n\) konvergent.
In der zweiten der genannten Arbeiten hatte Littlewood gezeigt, daß \(|\,na_n\,|<K\) statt \(\lim na_n=0\) anzunehmen genügt. Bei dem (ziemlich schwierigen) Beweise dieses Satzes war ein an sich interessanter Hülfssatz gebraucht worden: Hat \(f(x)\) für \(x > x_0\) stetige erste und zweite Ableitungen, und ist \(f(x)=s+o(1)\), \(f''(x) = O(1)\) für \(x\to+\infty \), so ist \(f' (x) = o(1)\).
Im zweiten Kapitel der vorliegenden Arbeit (das erste enthält Einleitung und Überblick) wird dieser Satz nach den mannigfachsten Seiten verallgemeinert; z. B. “Ist \(f(x)=O(\varphi)\), \(f''(x) = O(\psi)\), wo \(\varphi\) und \(\psi\) für \(x>x_0\) wachsende Funktionen sind, so ist \(f'(x) = O(\sqrt{\varphi\psi})\)”. Analog mit \(o\) an Stelle von \(O\) (beidemal oder nur einmal), ähnlich für höhere Ableitungen, und ähnlich für abnehmende Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) an Stelle zunehmender (Sätze 1 bis 9).
Im dritten Kapitel werden die gewonnenen Resultate auf (gewöhnliche) Dirichletsche Reihen angewendet und so eine Anzahl von “Cesàro-Tauberschen” Sätzen erhalten, d. h. von solchen, die aus einer Cesàroschen Summierbarkeit zusammen mit gewissen restriktiven Bedingungen für die Koeffizienten Konvergenz- (oder genauer Summations-) Eigenschaften der Reihe der Koeffizienten herleiten (Sätze 10 bis 23). Als wichtigstes Beispiel dieser Gruppe von Sätzen möge der folgende gelten (Satz 18): ”Ist \(a_n=O(n^\alpha)\), \(\alpha>-1\) und \(\sum a_n\) summierbar \((C,r)\), dann ist \(\sum a_nn^{-s}\) summierbar \((C, k)\), \(0\leqq k\leqq r\) für \[ s=\frac{(\alpha+1)(r-k)}{r+1}, \] und dasselbe ergibt sich auch, falls \(a_n = o (n^\alpha)\) und \(\sum a_n\) beschränkt \((C, r)\) ist.” (Für \(\alpha=-1\) erhält man einen von Hardy schon früher gefundenen Satz.)
Im vierten Kapitel wird zunächst (analog zu den Sätzen des dritten) eine Anzahl “Abel-Tauberscher Sätze” gegeben, d. h. solcher, die statt einer Summierbarkeit nur die Existenz von \(\displaystyle\lim_{x=1}\sum a_nx^n\) oder \(\displaystyle\lim_{x=0}\sum a_ne^{-nx}\) voraussetzen (Sätze 24 bis 26). In dieser Richtung liegt
Satz 26: “Ist \(a_n = O(n^\alpha)\), \(\alpha\geqq 1\), und ist \(f(x)=\sum a_ne^{-nx}=o(x^{-1-\alpha})\) für \(\alpha>-1\), bzw. \(=s + o(1)\), für \(\alpha = 1\), so ist die Partialsumme \(s_n=o(n^{1+\alpha})\) für \(a > -1\), bzw. \(= s + o(1)\) für \(\alpha = 1\).
Im weiteren Verlauf (Sätze 27 bis 34) beschäftigt sich dieses (vielleicht wertvollste) Kapitel mit hinreichenden Bedingungen für die Umkehrung des Abelschen Grenzwertsatzes, wie sie der Taubersche und dann der Littlewoodsche Satz schon lieferten. Sie sind bemerkenswert dadurch, daß sie Vergleiche zwischen der Differenz \(a_n - a_{n+1}\) und \(a_n\) selbst zu Kriterienbildung verwenden. So lautet z. B.
Satz 27: “Ist \(a_n-a_{n+1}=O\biggl(\dfrac{a_n}{n}\biggr)\), und ist \(\lim \sum a_ne^{-nx}=s\), so ist \(\sum a_n\) konvergent und überdies \(\lim na_n=0\).”
(Beachtung verdient die Bemerkung, daß \(o\) statt \(O\) die beiden Voraussetzungen unvereinbar machen würde!) Der Beweis dieses Satzes ist recht schwierig. Interessant ist ferner
Satz 34: “Ist \(a_n-a_{n+1}=O(1\!/n^2)\) und \(\lim \sum a_nx^n\) vorhanden, so ist \(\sum a_n\) konvergent.”
Dieser Satz, der ersichtlich aus dem Littlewoodschen folgt, enthält umgekehrt diesen in sich. Ein direkter einfacher Beweis jenes ist den Verfassern bisher nicht gelungen.
Das fünfte Kapitel endlich behandelt noch eine Anzahl nur lose mit dem vorigen und unter sich zusammenhängender Fragen; so wird zunächst bezüglich Cesàroscher Summierbarkeit nicht-ganzzahliger Ordnung der Satz bewiesen:
“Ist \(a_n=O\biggl(\dfrac{1}{n}\biggr)\) und \(\sum a_n\) summierbar \((C, r)\), so ist \(\sum a_n\) auch summierbar \((C,-1+\delta)\) für jedes positive \(\delta\).”
Und als Beitrag zur Cauchyschen Multiplikation der Reihen wird bewiesen:
“Das Produkt einer beliebigen Anzahl konvergenter Reihen, deren allgemeines Glied \(\text{je}=O\biggl(\dfrac{1}{n}\biggr)\) ist, ist wieder konvergent” (Sätze 37 und 38).
Die folgenden Sätze 40 bis 43 befassen sich mit “Tauberschen” Sätzen für Doppelreihen, und den Schluß dieser inhaltreichen Arbeit bilden Bemerkungen über den Abelschen \(\displaystyle\lim_{p=1}\sum a_nx^n\), falls sich \(x\) auf Wegen dem Punkte \(+1\) nähert, die den Einheitskreis von innen berühren. (Bisher war Annäherung im Winkelraum – wie stets bei solchen Betrachtungen – vorausgesetzt). In dieser bisher noch gar nicht betretenen Richtung wird u. a. bewiesen:
“Es lassen sich konvergente Reihen \(\sum a_n\) finden, für die \(\sum a_nx^n\) nicht vorhanden ist, wenn sich \(x\) längs irgendeines den Einheitskreis von innen berührenden Kreises dem Punkte \(+1\) nähert.”
Als Beispiel wird die Reihe \(\sum n^{-b}\,e^{in^\alpha}\) \((0<a<\frac{1}{2})\) genannt.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

MSC:

40E05

Tauberian theorems

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 41.0278.01; JFM 41.0278.02; JFM 42.0276.01; JFM 43.0311.02