Sur la représentation analytique des fonctions définies par des séries de Dirichlet. (French) JFM 43.0502.01

Riesz, M.

Acta Math. 35, 253-270 (1912).

Die Dirichletschen Reihen \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}\) mit den Spezialfällen \(\sum a_ne^{-n_s}=\sum a_nx^n\) (für \(x = e^{-s}\)), d. h. den gewöhnlichen Potenzreihen, und \(\sum a_ne^{-s\log n}=\sum\dfrac{a_n}{n^s}\), d. h. den gewöhnlichen Dirichletschen Reihen, besitzen im allgemeinen eine bestimmte Halbebene \(\mathfrak R(s)>d\) als genaues Konvergenzgebiet, in dessen Innern sie eine reguläre analytische Funktion darstellen. Die Lage der Grenzgeraden \(\mathfrak R=d\) dieser Konvergenzhalbebene ist aber nur im Spezialfall der Potenzreihen sehr einfach dadurch bestimmt, daß auf ihr ein (im Endlichen gelegener) singulärer Punkt liegt. Bei den allgemeineren Reihen braucht dies nicht der Fall zu sein.
Auch wenn man statt der Konvergenz “Summierung” nach der Cesàro-Rieszschen Methode anwendet, bleibt diese Eigentümlichkeit dieselbe: Das Summierungsgebiet ist eine Halbebene, auf deren Grenzgeraden jedoch kein singulärer Punkt zu liegen braucht (Bohr).
Es bleibt daher die Frage nach der Darstellung einer durch eine Diriehletsche Reihe definierten Funktion \(f(s)\) in einem möglichst großen singularitätenfreien Gebiet. Für Potenzreihen leistet dies die Entwicklung nach Polynomen im Mittag-Lefflerschen Sterngebiet; ebendort leistet die Darstellung auch der folgende gleichfalls von Mittag-Leffler im Anschluß an die Borelsche Darstellung im Summabilitätspolygon gegebene Ausdruck: \[ \begin{split} \lim_{\alpha=0}\left(a_0+\frac{a_1}{\varGamma(\alpha+1)}x+ \frac{a_2}{\varGamma(2\alpha+1)}x^2\right.\\ \left.+\cdots+\frac{a_n}{\varGamma(n\alpha+1)}x^n+\cdots\right)= \lim_{\alpha=0}\varPhi_\alpha(x). \end{split} \] Er konvergiert gleichmäßig gegen \(\sum a_nx^n\) und die analytische Fortsetzung davon in jedem endlichen, ganz im Innern des Mittag-Lefflerschen Sternes gelegenen Gebietes.
Ähnliche Gedanken and ähnliche Methoden führen nun auch bei den allgemeinen Dirichletschen Reihen zum Ziel:
Durch jeden singulären Punkt der durch \(\sum a_n e^{-\lambda_ns}\) definierten Funktion \(f(s)\) lege man einen Halbstrahl-Schnitt parallel zur negativen Achse des Reellen. Das restierende Gebiet heiße \(a\). Man setze \[ \varphi_\alpha(s)=\frac{a_0}{\varGamma(\alpha\lambda_0+1)}e^{-\lambda_0s}+ \frac{a_1}{\varGamma(\alpha\lambda_1+1)}e^{-\lambda_1s}+\cdots+ \frac{a_n}{\varGamma(\alpha\lambda_n+1)}e^{-\lambda_ns}+\cdots \] (\(\varphi_\alpha(s)\) ist dann für jedes \(\alpha > 0\) eine ganze Funktion). Dann ist \[ \lim_{\alpha=0}\varphi_\alpha(s)=f(s), \] und zwar gleichmäßig in jedem endlichen, ganz innerhalb \(a\) gelegenen Gebiete.
Überdies lassen sich die ”Eckpunkte” des Sternes, d. h. die Anfangspunkte der Halbstrahl-Schnitte explizit bestimmen. Ist t eine beliebige Ordinate, so ist \[ \bar\sigma=\lim_{\alpha=0}\varlimsup_{\omega=\infty} [\alpha\log\log | \varphi_\alpha(-\omega+it)|-\omega] \] die Abzisse des am weitesten rechts auf der Geraden \(J(s)=t\) gelegenen singulären Punktes.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

References:

[1]	Ce fait a été déjà signalé (à un autre point de vue), parM. Bohr qui appliquait les moyennes arithmétiques entre autres à la série (3).
[2]	En vertu d’un théorème deM. Borel, généralisé parM. Phragmén, l’étoile principale n’est pas nécessairement le domaine total de convergence de l’expressionlimite (9).
[3]	La marche de notre démonstration va montrer qu’on peut aussi admettre certains domaines infinis.
[4]	En effet, si l’on écrit (22) sous la forme {\(\Sigma\)}a n e n 8, les points8 qui correspondent aux pointsx u, sont tous situés dans une demi-bande (de largeur (1+{\(\epsilon\)}){\(\pi\)}{\(\pi\)}).
[5]	Cette inégalité montre qu’on peut choisir la courbeH (a) de plus en plus aplatie et la faire tendre vers le segment (0,x) lorsquea tend vers zéro.
[6]	Borel: Leçons sur les séries divergentes, Paris, 1901 (pp. 138–141).
[7]	Pendant l’impression de cette lettre,M. Mittag-Leffler m’apprit que la démonstration qui suit, est essentiellement la même que celle qu’il avait donnée pour les séries entières, dans ses cours de 1905–06. Il avait aussi montré que le théorème reste valable en tout sommet {\(\xi\)} de l’étoile pour lequel il existe un angle de sommet {\(\xi\)}, renfermant le vecteur (0, {\(\xi\)}) où la fonction est continue. Le lecteur verra sans difficulté que cette extension subsiste aussi dans notre cas général. (M. R.)
[8]	M. Riesz: Sur un problème d’Abel. (Extrait d’une lettre àM. Mittag-Leffler, 24 mai 1910) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. T. XXX. 1910 (Séance de 10 juillet 1910).
[9]	Ce résultat a été aussi trouvé parM. Dienes qui l’avait publié avec d’autres résultats concernant les moyennes arithmétiques de vos séries de polynomes, ces autres résultats étant aussi des conséquences immédiates de vos théorèmes et de ceux deM. Fejér. (Comptes rendus, 25 juillet 1910). Je dois observer que le raisonnement de ma lettre insérée aux Rendiconti fait voir que dans les énoncés deM. Dienes, l’introduction des moyennes arithmétiques pourrait être évitée.