Sur un théorème de géométrie. (French) JFM 43.0757.03

Poincaré, H.

Palermo Rend. 33, 375-407 (1912).

Der Verf. teilt hier einen geometrischen Satz mit, von dessen Richtigkeit er überzeugt ist, ohne daß es ihm gelungen ist, ihn allgemein zu beweisen. Er entschuldigt dieses ihm ungewohnte Verfahren damit, daß er den Satz, der, allgemein bewiesen, zu sehr wichtigen Folgerungen führen würde, in einer großen Anzahl von Fällen als richtig erkannt habe, daß er aber nicht mit Sicherheit darauf rechnen könne, lange genug zu leben, um das Problem ruhen zu lassen und vielleicht nach Verlauf einiger Jahre doch noch den allgemeinen Beweis zu finden. Man gewinnt unwillkürlich den Eindruck, daß er sich damals schon (7. März 1912) mit Todesahnungen getragen hat, die ja leider nur zu bald in Erfüllung gegangen sind.
In § 2 der Arbeit wird der Satz ausgesprochen: Es seien \(x,y\) Polarkoordinaten, und es sei zwischen \(x,y\) und \(X,Y\) eine Punkttransformation gegeben, die den Kreisring zwischen den beiden Kreisen \(x = a\) und \(x = b\) \((b < a)\) eindeutig umkehrbar auf sich selbst abbildet. Außerdem wird noch vorausgesetzt, daß die den Ring begrenzenden Kreise so in sich transformiert werden, daß die Differenz \(Y - y\) für \(x = X = a\) immer dasselbe Vorzeichen, für \(x = X = b\) aber immer das entgegengesetzte Vorzeichen hat, und daß es eine positive Funktion \(f(x, y)\) gibt, für die die Gleichung \[ \int \int f(x,y) \,dx \,dy = \int \int f(X,Y) \,dX \,dY \] immer besteht, wenn man das eine Integral über ein beliebiges Flächenstück des Kreisrings erstreckt und das andere über das transformierte Flächenstück. Unter diesen Voraussetzungen wird behauptet, daß im Innern des Kreisrings stets zwei bei der Transformation invariante Punkte vorhanden sind.
Der Satz kann auch so ausgesprochen werden, daß zu einer eineindeutigen Transformation des Kreisrings, bei der die Umfänge der begrenzenden Kreise in der angegebenen Weise transformiert werden, bei der aber kein Punkt im Innern des Kreisrings invariant bleibt, niemals eine positive Funktion von der vorhin angenommenen Art gehören kann.
In § 3 wird gezeigt, welche wichtigen Anwendungen sich von dem Satze, wenn er allgemein bewiesen wäre, machen lassen würden, und zwar auf die geodätischen Linien einer konvexen Fläche und auf das Problème restreint des trois corps (zum Beweise des Vorhandenseins unendlich vieler periodischer Lösungen).
In §§ 4–11 werden die Eigenschaften einer Transformation des Kreisrings studiert, die keinen Punkt im Innern invariant läßt, und es werden verschiedene neue Formulierungen des Satzes entwickelt. Der Verf. bedient sich dabei auch vielfach der Abbildung, die sich ergibt, wenn man \(x\) und \(y\) als rechtwinklige Koordinaten deutet, und er operiert mit Konturen, die aus Bogen der Kurven \(X = x\), der transformierten Kurven \((X) = x\), der Kurven \(x = c,\, X = c\) und \((X) = c\) zusammengesetzt sind. Die Richtigkeit des Satzes kommt auf die Möglichkeit hinaus, bestimmte Konturen dieser Art herstellen zu können. § 12 werden einige besondere Fälle besprochen, die sich erledigen lassen. § 13 enthält nicht weniger als 20 Figuren, die sich ebenfalls auf derartige Fälle beziehen.
Inzwischen ist es G. D. Birkhoff gelungen, den Satz allgemein zu beweisen; s. dessen Proof of Poincaré’s geometric theorem, Amer. Math. Soc. Trans. 14, 14-22, 1913.

Reviewer: Engel, Prof. (Gießen)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 5. Verwandtschaft, Transformationen, Abbildungen. A. Allgemeines.