Proof of Poincaré’s geometric theorem. (English) JFM 44.0761.01

Birkhoff, G. D.

Trans. Am. Math. Soc. 14, 14-22 (1913).

In seiner letzten Abhandlung [Rend. Palermo 33, 375–407 (1912; JFM 43.0757.03)] hat H. Poincaré mit einem Hinweis auf seinen schwankenden Gesundheitszustand ein Problem veröffentlicht, dessen allgemeine Erledigung ihm trotz jahrelanger Bemühungen und trotz der Durchführung vieler Sonderfälle nicht gelungen sei, in der Hoffnung, daß jüngeren Kräften bei der Behandlung dieser für das Dreikörpersystem wichtigen Frage mehr Erfolg beschieden sein würde. Diese Hoffnung hat sich rasch erfüllt: wenige Monate später hat G. D. Birkhoff für den von Poincaré vermutungsweise aufgestellten Satz einen überraschend einfachen und eleganten Beweis erbracht.
Es handelt sich um folgendes: Ein Kreisring \(a \ge r \ge b \) (\(r \) und \( \theta \) seien Polarkoordinaten) werde eineindeutig, stetig und flächentreu derart auf sich selbst abgebildet, daß dabei die Punkte des Kreises \( r = a\) im positiven Umlaufsinn verschoben werden und die auf \( r = b\) im negativen. Dann (so soll bewiesen werden) gibt es im Innern des Kreisringes mindestens zwei verschiedene Fixpunkte der Abbildung. Die Schwierigkeit dieses Problems liegt in dem Nachweis der Existenz eines Fixpunktes; denn daß diese Punkte nur paarweise auftreten können, beweist man leicht mittels der Charakteristiken von Kronecker.
Angenommen, unsere flächentreue Abbildung \(T\) oder \((r, \theta) \rightarrow (r', \theta')\) habe keinen Fixpunkt. Dann führt Birkhoff eine Hülfsabbildung \( T_\varepsilon \) ein \((r, \theta) \rightarrow (\bar r, \bar\theta)\) durch die Formeln \( \bar r^2=r^2 -\varepsilon, \bar\theta = \theta \{\varepsilon > 0\}\). \(T_\varepsilon \) ist ebenfalls flächentreu und zieht den Kreisring zusammen. Es wird nun ein stetiger und sich selbst nicht durchschneidender Kurvenbogen \( K \) konstruiert, der in dem Kreisring \(a \ge r \ge b\) von einem Punkt auf \( r = a\) nach einem Punkt auf \( r = b\) hinläuft und durch die zusammengesetzte Transformation \( TT_\varepsilon \) in sich selbst verschoben wird. Es sei \(\overline\omega\) der Winkel zwischen dem Radiusvektor eines Punktes \( P \) und der Richtung von \( P \) nach dem in der Abbildung \( TT_\varepsilon\) entsprechenden Punkte \(\bar P'\). Dann wird gezeigt, daß \(\overline \omega\) nahezu um \(- \pi\) zunimmt, wenn der Punkt \( P \) den Kurvenbogen \( K \) durchläuft, vorausgesetzt, daß \(\varepsilon\) hinreichend klein ist. Die Änderung des Winkels \(\omega\) zwischen dem Radiusvektor \( OP \) und der Richtung von \( P \) nach dem in \( T \) entsprechenden Punkte \( P' \) auf diesem Wege \(K\) wird demnach \(= - \pi,\) da \(|\omega' - \omega| < \frac 12\pi\) für genügend kleine \(\varepsilon\). Genau ebenso könnte man zeigen, daß für die inverse Abbildung \(T^{-1}\) der entsprechende Zuwachs \(= + \pi\) ausfiele. Indessen ist die Änderung von \(\omega\) bei \( T \) wie bei \( T^{-1} \) offenkundig genau dieselbe. Damit ist ein Widerspruch hergeleitet und somit die Existenz eines Fixpunktes erwiesen.
Der Satz ist von Poincaré selbst schon für den Fall verallgemeinert worden, daß \( T \) zwar nicht flächentreu ist, aber eine Integralinvariante hat von der Form
\[ \iint P(x, y)\,dx\,dy, \quad P>0. \]

Reviewer: Blaschke, Prof. (Königsberg i. Pr.)

MSC:

54H25

Fixed-point and coincidence theorems (topological aspects)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 5. Verwandtschaft, Transformationen, Abbildungen. B. Konforme Abbildungen und dergleichen.

Citations:

JFM 43.0757.03