II A 12. Trigonometrische Reihen und Integrale bis etwa 1850. (German) JFM 45.0374.02

Burkhardt, H.

Enzykl. d. math. wiss. \(II_1\), Heft 7, 819-1354 (1914).

Inhaltsübersicht. Theorie der trigonometrischen Reihen und Integrale.
I. Entwicklung analytischer Funktionen in trigonometrische Reihen.
1. Erster Ausgangspunkt: Rekurrierende Reihen. 2. Zweiter Ausgangspunkt: Auffassung von Reihen, die nach Potenzen einer komplexen Variablen fortschreiten, als Entwicklungen nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen des Arcus dieser Variable. 3. Dritter Ausgangspunkt: Umsetzung von Reihen, die nach Potenzen von \(x\) geordnet sind. 4. Divergente trigonometrische Reihen. 5. Entwicklung der Potenzen von \(\cos x\) und \(\sin x\) nach den Kosinus oder Sinus der Vielfachen von \(x\). 6. Anhang zu Nr. 5. 7. Trigonometrische Entwicklung rationaler ganzer Funktionen. Die Bernoullischen Funktionen. 8. Mit iterierten Integralen rationaler Funktionen zusammenhängende Entwicklungen. 9. Entwicklung der Potenzen der wahren Distanz zweier Punkte nach den Kosinus der Vielfachen der scheinbaren Distanz. 10. Anhang zu Nr. 9. 11. Entwicklungen der Sphärik. 12. Entwicklungen aus der Theorie der elliptischen Bewegung. 13. Entwicklungen von trigonometrischen und von Exponentialfunktionen. 14. Andere spezielle Reihenentwicklungen. 15. Darstellung der Koeffizienten durch unendliche Reihen. 16. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch bestimmte Integrale. 17. Reihen, die Kosinusglieder und Sinusglieder nebeneinander enthalten. 18. Entwicklungen nach den Funktionen der ungeraden Vielfachen des Arguments. 19. Umkehrung trigonometrischer Reihen. 20. Verwandlung schlecht konvergierender trigonometrischer Reihen in besser konvergierende. 21. Restglied einer trigonometrischen Reihe. 22. Multiplikation trigonometrischer Reihen. 23. Der Parsevalsche Satz. 24. Eindeutige Bestimmtheit der Entwicklung.
II. Entwicklung willkürlicher Funktionen in trigonometrische Reihen.
25. Die Hauptschwingungen eines Massensystems. 26. Der Streit um das Problem der Saitenschwingungen. 27. Fourier und seine Zeitgenossen. 28. Exkurs betreffend die Entwicklung des Begriffs einer willkürlichen Funktion. 29. Exkurs betreffend die Vertauschung der Reihenfolge von Grenzübergängen. 30. Exkurs betreffend die Diskussion über die den Zeichen von \(\cos \infty,\;\sin \infty\) beizulegende Bedeutung. 31. Ältere mißglückte Beweisversuche. 32. Grenzübergang von der Interpolationsformel her. 33. Der Deflerssche Beweisansatz. 34. Der Poissonsche Beweisansatz. 35. Exkurs betreffend die Entwicklungsgeschichte von Cauchys Residuentheorie. 36. Der Cauchysche Beweisansatz aus der Residuentheorie. 37. Der Dirichletsche Beweis. 38. Beweis der Konvergenz durch partielle Integration in den Ausdrücken der Koeffizienten. 39. Benutzung des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung durch O. Bonnet. 40. Integral des Quadrats des beim Abbrechen einer trigonometrischen Entwicklung übrigbleibenden Fehlers. 41. Differentiation und Integration trigonometrischer Reihen. 42. Verhalten der Reihen an Sprungstellen der zu entwickelnden Funktion.
III. Unharmonische trigonometrische Reihen.
43. Erste Beispiele solcher Reihen. 44. Die Realität der Wurzeln der determinierenden Gleichungen. 45. Beweise der Möglichkeit solcher Entwicklungen.
IV. Mehrfache trigonometrische Reihen.
46. Mehrfache trigonometrische Reihen. 47. Rechnen mit mehrfachen trigonometrischen Reihen. 48. Mehrfache unharmonische trigonometrische Reihen. 49. Das Verfachren von Liouville. 50. Die Entwicklung der Störungsfunktion in der Theorie der Planetenbewegung. 51. Entwicklung der Wärmemenge, die ein Teil der Erdoberfläche von der Sonne erhält, nach trigonometrischen Funktionen der Zeit.
V. Das Fouriersche Integral.
52. Übergang von der trigonometrischen Reihe zum Fourierschen Integral. 53. Die komplexe Form des Fourierschen Integrals. 54. Die Auffassung der Integralrelation als Grenzgleichung. 55. Andere Modifikationen der Integralrelation. 56. Andere Versuche, den Fourierschen Integralsatz zu beweisen. 57. Umgestaltungen der Fourierschen Integralformel. 58. Das Fouriersche Integral für den Fall von Unstetigkeiten der darzustellenden Funktion. 59. Paare reziproker Funktionen. 60. Unharmonische Form des trigonometrischen Integrals. 61. Differentiation und Integration trigonometrischer Integrale. 62. Mehrfache trigonometrische Integrale. 63. Das mehrfache Fouriersche Integral als Grenzformel. 64. Paare reziproker Funktionen von mehreren Variabeln. 65. Die Poissonsche Reduktionsformel. 66. Eine Redunktionsformel von Cauchy.
Anwendungen trigonometrischer Reihen und Integrale.
VI. Integration partieller Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.
67. Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen, die nach den sukzessiven Ableitungen willkürlicher Funktionen fortschreiten. 68. Allgemeines über Integration durch Reihen von Elementarlösungen. 69. Ausgezeichnete Lösungen und Eigenfunktionen. 70. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, von den in Nr. 67 besprochenen Reihenentwicklungen aus. 71. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale: Integration des Produkts der Elementarlösung mit einer willkürlichen Funktion ihres Parameters nach diesem. 72. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, in Übertragung der bei gewöhnlichen Differentialgleichungen angewendeten Methode. 73. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, vermöge der Darstellung der numerischen Koeffizienten ihrer Reihenentwicklungen durch solche Integrale. 74. Übergang von der Lösung durch eine trigonometrische Reihe zur Lösung durch ein bestimmtes Integral. 75. Diskussion über den Grad Allgemeinheit der so erhaltenen Lösungen. 76. Ableitung der Hauptlösung aus der Lösung durch ein bestimmtes Integral. 77. Ableitung der Lösung durch ein bestimmtes Integral aus der Hauptlösung. 78. Anpassung der Lösung durch ein bestimmtes Integral an gegebene Anfangsbedingungen. 79. Integration durch trigonometrische Integrale. 80. Ableitung der Hauptlösung einer partiellen Differentialgleichung aus der Darstellung ihrer allgemeinen Lösung durch ein Fourierschen Integral. 81. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zur Lösung durch ein einfaches Integral. 82. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zu der von Integralzeichen freien Form der Lösung. 83. Darstellung der Lösungen durch die Formeln der Residuentheorie. 84. Rückkehr von der Lösung durch Integrale zur Lösung durch trigonometrische Reihen. 85. Ableitung des “Endverlaufs” aus den Reihenentwicklungen. 86. Ableitung des “Endverlaufs” aus der Integraldarstellung. 87. Die mit einer partiellen Differentialgleichung verträglichen Unstetigkeiten. 88. Variable Koeffizienten in den Grenzbedingungen. 89. Mit der Zeit variable Grenzflächen. 90. Sinn der Lösung für dem angenommenen Anfangszustand vorangehende Zeiträume.
VII. Integration partieller Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.
91. Integration durch trigonometrische Reihen. 92. Integration von Differentialgleichungen mit \(n+1\) unabhängigen Veränderlichen durch \(n\)-fache bestimmte Integrale. 93. Integration durch mehrfache Fouriersche Integrale. 94. Reduktion mehrfacher Fouriersche Integrale. 95. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie. 96. Reduktion der Integration eines Systems partieller Differentialgleichungen auf die einer resultierenden Gleichung. 97. Ableitung des Endverlaufs aus der Integraldarstellung. 98. Das Spiegelungsprinzip. 99. Die mathematische Formulierung des Huygensschen Prinzips.
VIII. Sonstige Anwendungen.
100. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale auf Grund der Integraldarstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen. 101. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale mit Hülfe der Fourierschen Integralformel. 102. Darstellung der Wurzeln von Gleichungen durch Integrale. 103. Analytische Darstellung des reellen und des imaginären Bestandteils einer Funktion komplexen Arguments vermittelst ihrer Werte für reelle Argumente. 104. Diskontinuitätsfaktoren. 105. Restglied der Euler-Maclaurinschen Summenformel. 106. Umformung von Reihen. 107. Transformation der Thetafunktionen. 108. Differentiation zu beliebigem Index. 109. Funktion großer Zahlen. 110. Auflösung von Integralgleichungen. 111. Integration von Gleichungen mit gemischten Differenzen. 112. Gaußsche Summen. 113. Sukzessive Evoluten ebener Kurven.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.