Über den Approximationssatz von Weierstraß. (German) JFM 45.0633.02

Müntz, Ch. H.

Schwarz-Festschr. 303-312 (1914).

Der Verf. beweist auf überraschend einfache Weise den folgenden merkwürdigen Satz: Gegeben sei die unendliche Folge der Potenzen \(x^{p_0} =1, x^{p_1}, x^{p_2}, \dots\) mit wachsenden positiven Exponenten; dann ist die Divergenz der Reihe \(\frac 1{p_1} + \frac 1{p_2} + \frac 1{p_3}+ \cdots\) notwendig und hinreichend dafür, daßes möglich sei, jede im Intervalle \(0 \dots1\) stetige Funktion \(f (x)\) mit beliebiger Annäherung durch einen Ausdruck \(a_0 + a_1 x^{p_1} + \cdots+ a_n x^{p_n}\) darzustellen.
Wird noch \(n\) vorgeschrieben, dann gibt es für \(f (x)\) eine beste Darstellung dieser Form in dem Sinne, daßfür sie das Integral des Fehlerquadrats zwischen 0 und 1 zu einem Minimum wird. Für \(f (x) \equiv x^m\) gelingt es dem Verf. die Koeffizienten \(a_0, \dots, a_n\) dieser besten Darstellung explizit anzugeben.

Reviewer: Faber, Prof. (München)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.