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Over de functies van Hermite. (Dutch) JFM 45.0714.01

Verf. untersucht eingehend das von Hermite aufgestellte, durch \[ H_n (x) = (-1)^n e^{x^2}\;\frac {d^n}{dx^n}\, (e^{-x^2}) \] definierte Polynom \[ H_n (x) = (2x)^n -\frac {n(n-1)}{1!} (2x)^{n-2} + \frac {n(n- 1)(n-2)(n-3)}{2!}\;(2x)^{n-4} -\cdots, \] welches u. a. der Differentialgleichung \[ \frac {d^2H_n}{dx^2} - 2x \frac {dH}{dx} + 2n H_n =0 \] genügt (s. Exerc. von Tisserand, 1877, 26, 27, 140), sowie ein zweites Fundamentalintegral \(L_n (x)\) dieser Differentialgleichung, das wie \(H_n(x)\) durch ein bestimmtes Integral dargestellt werden kann. In der ersten Arbeit stellt er zunächst einige Beziehungen auf, von denen die folgenden hervorgehoben werden mögen: \[ \begin{aligned} & \sum_0^\infty (-1)^k \frac {H_{2k} (x) H_{2k} (\alpha)}{(2k)!}= \frac 1{\sqrt 5} e^{\frac {4(\alpha^2 + x^2)}5} \cos \frac {4\alpha x}5,\;& \sum_0^\infty (-1)^k \frac {H_{2k+1} (x) H_{2k+1} (\alpha)}{(2k+1)!}= \frac 1{\sqrt 5}\;e^{\frac {4(\alpha^2 + x^2)}5} \sin \frac {4\alpha x}5,\;& \sum_0^\infty \frac {\theta^n H_{n} (x) H_{n} (\alpha)}{2^n.n!}= \frac 1{\sqrt {1-\theta^2}}\;e^{\alpha^2 -\frac {(\alpha - \theta x)^2}{1-\theta^2}}, \quad (0< \theta < 1).\end{aligned} \] Sodann entwickelt er eine Funktion einer reellen Veränderlichen nach den Funktionen \(H_n(x)\) und gibt als Beispiele die Entwicklung der Funktionen \(x^p\), \(e^{2\beta x-\beta^2}\) und einer einfachen diskontinuierlichen Funktion (an der Sprungstelle gibt die Reihe das arithmetische Mittel der Funktionswerte):
In der zweiten Arbeit löst Verf. gewisse Integralgleichungen mittels der Funktionen \(H_n (x).\) Ferner stellt er für \[ \sigma = \frac {H_{n+1} (x) + kL_{n+1} (x)}{H_n (x) + kL_n (x)} \quad (k \text{ willkürliche Konstante}) \] einen endlichen Kettenbruch auf, wobei er die Riccatische Differentialgleichung, der \(\sigma\) genügt, benutzt, und leitet im Zusammenhange damit die bemerkenswerte Formel \[ L_0(x) =\frac 2{\sqrt \pi} \int_0^x e^{x^2} dx \] ab. Das Vorangehende wendet er dann auf das Momentenproblem an. – In der dritten Arbeit endlich nimmt Verf. Bezug auf die inzwischen erschienenen Arbeiten von H. Galbrun, “Sur un développement d’une fonction à variable réelle en série de polynômes” (S. M. F. Bull. 41, 24), dessen Formeln er aus dem seinen ableitet, sowie von K. Runge, “Über eine besondere Art von Integralgleichungen” (Math. Ann. 75, 130) und H. Schwarzschild (Astron. Nachr. 185, Nr. 4422) und fügt, noch einige Bemerkungen, insbesondere über die Eigenwerte des Kerns, hinzu.
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