Modular equations and approximations to \(\pi\). (English) JFM 45.1249.01

Ramanujan, S.

Quart. J. 45, 350-372 (1914).

Die vom Verf. benutzte Approximationsmethode stützt sich auf die bekannten Formeln \[ \prod_{\chi=0}^\infty (1+e^{-(2\chi+1)\pi \sqrt n)} = 2^{\frac 14} e^{-\frac {\pi\sqrt\pi}{24}}G_n, \prod_{\chi=0}^\infty (1+e^{-(2\chi+1)\pi \sqrt n)} = 2^{\frac 14} e^{-\frac {\pi\sqrt\pi}{24}}g_n, \] wobei für ganzzahlige \(n\) die Größen \(G_n\) und \(g_n\) durch Auflösung gewisser algebraischer Gleichungen gewonnen werden. Verf. berechnet \(G_n\) und \(g_n\) für einige passend gewählte Werte von \(n\) und gewinnt auf diese Weise mehrere Näherungswerte für \(\pi,\) indem die linken Seiten durch 1 ersetzt werden. Die Formeln \[ \pi =\frac {12}{\sqrt {130}}\;\log\;\frac {(2+\sqrt 5)(3+\sqrt{13})}{\sqrt 2}, \quad \pi =\frac 4{\sqrt {522}}\;\log \left[\left(\frac {5+\sqrt {29}}{\sqrt 2}\right)^2 (5\sqrt {29}+ 11\sqrt 6)\right. \]
\[ \left. \times \left\{\sqrt {\frac {9+3\sqrt 6}4 } + \sqrt {\frac {5+3\sqrt 6}4} \right\}^6\right] \] sind z. B. bis zu der 15. bzw. 31. Dezimalstelle richtig. Auch für \(\frac 1\pi,\) sowie für andere Ausdrücke, in welchen \(\pi\) vorkommt, erhält der Verf. mit ähnlichen Methoden Approximationen.
Mit Hilfe der bekannten Annäherung \[ \pi=\frac {355}{113}, \] sowie mit einer anderen, empirisch ermittelten Annäherung \[ \pi =\left(9^2 +\frac {19^2}{22}\right)^{\frac 14} \] (richtig bis zur 8. Dezimalstelle) werden zwei geometrische Konstruktionen von \(\pi\) ausgeführt.

Reviewer: Szegö, Dr. (Berlin)

MSC:

11Y60	Evaluation of number-theoretic constants
11F03	Modular and automorphic functions

JFM Section:

Nachtrag. Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.