Sur quelques fonctions de lignes semicontinues. (French) JFM 45.1326.01

Goursat, É.

S. M. F. Bull. 43, 118-130 (1915).

Es sei \(F(x, y; x', y')\) eine positive homogene Funktion vom Grade eins in bezog auf \(x', y'.\) Man hat für das Integral \[ I_\varGamma=\int_\varGamma F(x, y; h', y') dt, \] wo \(\varGamma\) eine rektifizierbare Kurve allgemeinster Art ist, viele verschiedene Defintionen vorgeschlagen. Auch wenn man annimmt, daß \(F\) und die durch die Gleichungen \[ F_1(x, y;x', y') =\frac {F_{x'^2}{''}}{y'^2}=\frac {-F_{x'y'}{''}}{y'x'}=\frac {F_{y'^2}{''}}{x'^2} \] definierte Funktion \(F_1\) positiv sind, so ist es doch umständlich zu beweisen, daß diese Definitionen mit einander verträglich sind und im Falle regulärer Kurven \(\varGamma\) mit der elementaren Definition übereinstimmen. Man beweist in der Regel die Relation \[ (1)\qquad I_\varGamma =\varliminf I_{Cn}, \] wo \(C_n\) reguläre Kurven sind, die gleichmäßig gegen \(\varGamma\) streben. Handelt es sich darum, die Existenz des absoluten Minimums von \[ \int_A^BF(x, y; x', y') dt \] zu beweisen, so spielt nur die Eigenschaft (1) eine Rolle. Der Verf, schlägt deswegen vor, die Definition auf die Relation (1) zu basieren. Um dies zu rechtfertigen, beweist Verf. in elementarer Weise folgendes: Es seien die regulären Kurven \(C\) und \(C'\) durch die Darstellung \[ \begin{aligned} & x=x(t), =y(t)\;& x=x(t)+\xi(t), \quad y=y(t)+\eta(t)\end{aligned} \] gegeben. Dann kann man zu jedem positiven \(\varepsilon\) eine solche Zahl \(\delta\) finden, so daß \[ I_{C'}>I_C-\varepsilon, \] sobald nur \(| \xi (t) | < \delta, | \eta (t)| < \delta.\)

Reviewer: Carleman, Dr. (Upsala)

JFM Section:

Nachtrag. Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.