The restricted problem of three bodies. (English) JFM 45.1396.01

Birkhoff, G. D.

Palermo Rend. 39, 265-334 (1915).

Der Abschnitt I (\(\S\) 1-5) beschäftigt sich mit den Differentialgleichungen des Problems. Bekanntlich haben die Bewegungsgleichungen drei singuläre Punkte, entsprechend dem Zusammenstoß des unendlich kleinen Körpers mit einem der beiden endlichen Körper sowie seinem Übergang ins Unendliche. Man verdankt Levi-Civita die Entdeckung, daß die Bewegungsgleichungen, was die Singularität der zuerst genannten Art betrifft, regularisiert werden können, wodurch der Charakter der Bewegung in der Nähe des Zusammenstoßes leicht ermittelt werden kann.
Ausgehend von einer neuen Transformation der Variablen (\(\S\) 2), gewinnt der Verf. die bekannten Gleichungen für die tangentiale und die normale Komponente der Verschiebung bei einer variierten Bewegung (\(\S\) 3), die Gleichungen von Levi-Civita (in einer nicht kanonischen Form, \(\S\) 4) sowie eine neue Form der Bewegungsgleichungen des Problems (\(\S\) 5), bei denen die einzige Singularität dem Übergang ins Unendliche entspricht.
In dem zweiten Abschnitt (\(\S\) 6-8) untersucht der Verf. die Mannigfaltigkeit der Bewegungszustände des Problems, unter dem Bewegungszustande eines Punktes seine Lage und Geschwindigkeit verstanden.
Die neue Form der Bewegungsgleichungen ermöglicht eine nirgends singuläre Darstellung der Mannigfaltigkeit der Bewegungszustände für einen gegebenen Wert der Jacobischen Konstante; die Bewegungen können als Stromlinien einer dreidimensionalen, nirgends singulären Strömung aufgefaßt werden (\(\S\) 6). In den \(\S\S\) 7 und 8 wird auf diesem Wege eine Charakterisierung der Bewegeng in den sechs überhaupt möglichen verschiedenen Fällen durchgeführt. Man findet u. a., daß, wenn der unendlich kleine Körper sich in der von der Eilinie der Geschwindigkeit Null um einen der beiden Hauptkörper begrenzten Fläche bewegt, die Mannigfaltigkeit der Bewegungszustände umkehrbar eindeutig auf die Punkte im Innern und auf dem Rande eines Kugelkörpers abgebildet werden kann. Die diametral gegenüberliegenden Punkte der Kugeloberfläche gelten dabei als identisch. Umgibt die Eilinie der Geschwindigkeit Null die beiden Hauptkörper, so tritt an Stelle des Kugelkörpers, unter den gleichen Annahmen bezüglich der Berandung, der Raum zwischen zwei konzentrischen Kugeln.
Die weiteren Betrachtungen der Abhandlung bschäftigen sich mit dem zuerst genannten Fall.
Poincaré hat entdeckt, daß, wenn die Masse eines der beiden Hauptkörper hinreichend klein ist, das restringierte Problem der drei Körper mit einer gewissen Abbildung eines Kreisringgebietes auf sich selbst in Zusammenhang gebracht werden kann. Der dritte Abschnitt der vorliegenden Abhandlung ist weiteren Untersuchungen auf diesem Gebiete gewidmet. Eine Haupteigenschaft der Poincaréschen Transformation besteht darin, daß das Flächenintegral eine Invariante ist. Der Verf. zeigt (\(\S\) 14), daß diese Transformation als ein Produkt zweier involutorischer Transformationen aufgefaßt werden kann. Der vierte Abschnitt (\(\S\S\) 16-21) beschäftigt sich mit periodischen Bahnen. – Die Frage nach der Existenz periodischer ist von großer Wichtigkeit. Die Arbeiten von Hill, Darwin und Moulton lassen kaum einen Zweifel darüber, daß periodische direkte und retrograde Bahnen existieren in einem ausgedehnten Gebiete der Werte der Massen und der Jacobischen Konstanten. Tatsächlich streng bewiesen ist die Existenz jener periodischen Bahnen nur für hinreichend kleine Werte einer der beiden Massen oder hinreichend große Werte der Jacobischen Konstanten. Der Verf. beweist, daß solange der unendlich kleine Körper durch die Anfangsbedingungen an das Flächenstück gebunden ist, dessen Begrenzung die Eilinie der Geschwindigkeit Null um einen der beiden Hauptkörper bildet, es stets mindestens eine einen vollen Umlauf darstellende periodische, retrograde Bahn gibt (\(\S\S\) 16, 17, 18). Darüber hinaus zeigt der Verf., daß solange die Poincarésche Transformation des Ringes in sich selbst durch die Transformation eines einfach zusammenhängenden beschränkten, ebenen Gebietes (“discoid”) in sich selbst ersetzt werden kann (insbesondere, wenn eine Hauptmasse hinreichend klein ist), es eine direkte, einen vollen Umlauf darstellende periodische Bahn gibt (\(\S\) 19):
In seiner letzten Arbeit [Palermo Rend. 33, 375–407 (1912; JFM 43.0757.03)], hat H. Poincaré gezeigt, daß, wenn ein gewisser, nach ihm benannter geometrischer Satz gilt, die Existenz der Transformation des Ringes in sich selbst, die Existenz unendlich vieler periodischer Bahnen der restringierten Dreikörperproblems nach sich zieht. Jener letzte Satz von Poincaré ist bekanntlich nachträglich vom Verf. bewiesen worden [Bull. Soc. Math. Fr. 42, 1–12 (1914; JFM 45.1382.01)]. Hierdurch ist auf dem betrachteten Gebiete ein wesentlicher Fortschritt erreicht. Die Transformation des Ringes in sich selbst ist, wie bereits erwähnt, das Produkt zweier involutorischen Transformationen. Hieraus folgen unmittelbar die Existenz unendlich vieler symmetrischer periodischer Bahnen sowie einige Ergebnisse über die Form und die Verteilung dieser Bahnen (\(\S\) 20). In dem letzten \(\S\) 21 werden einige geometrische Eigenschatten der Bahnen bewiesen, darunter der Satz, daß solange die Ringtransformation gilt, zu einem jeden Punkt der Ebene und jedem Wert der Jacobischen Konstante unendlich viele Richtungen gehören derart, daß der unendlich kleine Körper durch den betrachteten Anfangspunkt später noch einmal hindurchgeht.

Reviewer: Lichtenstein, Prof. (Leipzig)

MSC:

70F07

Three-body problems

JFM Section:

Zwölfter Abschnitt. Astronomie, Geodäsie und Geophysik. C. Theorie der Bewegung der Himmelskörper, aufgefaßt als Massenpunkte.

Keywords:

restricted three-body problem

Citations:

JFM 43.0757.03; JFM 45.1382.01

References:

[1]	T. Levi-Civita,Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps [Acta Mathematica, t. XXX (1906), pp. 305–327]. See also an earlier paper by the same author,Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi [Annali di Matematica, ser. III, vol. IX (1904), pp. 1-32]. · JFM 37.0739.01
[2]	H. Poincaré,Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, vol. III(Paris, Gauthier-Villars, 1899), PP- 196–200, 372-381.
[3]	H. Poincaré,Sur un théorème de Geometrie [Rendi:onti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXIII (I{\(\deg\)} semestre 1912), pp. 375–407]. · JFM 43.0757.03
[4]	G. W. Hill,Researches in the Lunar Theory [American Journal of Mathematics, vol. I (1878), pp. 5–26, 129-147, 245-260]. · JFM 10.0782.02
[5]	G. H. Darwin,Periodic Orbits [Acta Mathematica, vol. XXI (1897), pp. 99–242]. · JFM 28.0851.03
[6]	F. R. MouLTON,Relations among Families of Periodic Orbits in the Restricted Problem of Three Bodies [Proceedings of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1913, vol. II, pp. 182–187].
[7]	A criterion for the existence of periodic orbits has been given byE. T. Whittaker,On Periodic Orbits in the Restricted Problem of Three Bodies [Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. LXII (1901-1902), pp. 346–352].
[8]	G. D. BiRKHOFF,Proof of Poincaré’sGeometric Theorem [Transactions of the American Mathematical Society, vol. XIV (1913), pp. 14–22],Démonstration du dernier Théorème de Géométrie de Poincaré [Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. XLII (1914), pp. 1-12] (translation).
[9]	Cf. Darwin, loc. cit. 5), pp. 133–141.
[10]	Cf. C.L. Charlier,Die Mechanik des Himmels (Leipzig, Veit, 1907), vol. II, pp. 102–117.
[11]	Loc. cit. 10).
[12]	Cf.H. Poincaré, loc. cit. 2), p. 199. Also 3), p. 380. ProfessorO. Veblen has called my attention to the fact that the space ofprojective geometry also affords an equivalent representing space. This is not, however, the space of the coordinates.
[13]	Much of the material presented in this and the following paragraph is given in a different form by Poincaré ; see 2).
[14]	F. R. MouLTON,A Class of Periodic Solutions of the Problem of Three Bodies with Application to the Lunar Theory [Transactions of the American Mathematical Society, vol. VII (1906), pp. 537–577]. The possibility of continuation was first established byH. Poincaré,Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste (Paris, Gauthier-Villars, 1892), vol. I, pp. 79-119, and somewhat later in a paper by T. Levi-Civita,Sopra alcuni criteri di instabilità [Annali di Matematica, ser. Ill, vol. V (1900), pp. 221-307], in particular pp. 282-289.
[15]	H. Poincaré,Sur les courbes définies par les équations différentielles (3me partie) [Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4me série, t. I (1885), pp. 167–244] ; in particular pp. 220-244.
[16]	H. Poincaré,Les méthodes nouvelles ie la Mécanique Céleste, vol. III (Paris, Gauthier-Villars, 1899), pp. 175–178.
[17]	L. E. J. Brouwer,über eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich [Mathematische Annalen, Vol. LXIX (1910), pp. 176–180]. · JFM 41.0544.01