Sur l’unicité du développement trigonométrique. (French) JFM 46.0457.02

Menchoff, D.

C. R. 163, 433-436 (1916).

“Lemma: Es gibt eine in \((0,2\pi)\) stetige Funktion \(F(x)\), welche in jedem Restintervall einer perfekten Menge vom Maße Null, aber nicht im ganzen Intervall \((0,2\pi)\), konstant ist, und für welche \[ \lim_{n=\infty} n\int_0^{2\pi}F(\alpha)\cos n(\alpha- x)d\alpha=0, \] gleichmäßig für \(0\leqq x\leqq 2\pi\).”
“Theorem: Es gibt eine trigonometrische Reihe mit unendlich vielen von Null verschiedenen Koeffizienten, welche gleichmäßig nach Null konvergiert in dem um eine perfekte Menge vom Maße Null verminderten Intervalle \((0,2\pi)\).”
Versteht man unter gleichmäßiger Konvergenz das z. Zt. Übliche, so ist die Behauptung des Theorems offenbar unrichtig. Auch kommt im Beweise desselben das Wort “gleichmäßig” überhaupt nicht vor. Streicht man dieses Wort aus der Fassung des Theorems, so wird die Abh. in besagter Hinsicht einwandfrei. (Vgl. die Arbeit des Ref. in Math. Ann. 84, 121, 1921.)

Reviewer: Neder, Dr. (Leipzig)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes. Fouriersche Integrale. Trigonometrische Polynome. Trigonometrische Interpolation.