Theorems concerning the summability of series by Borel’s exponential method. (English) JFM 46.0486.04

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.

Palermo Rend. 41, 36-53 (1916).

Eine kleine Arbeit über Summierungsverfahren, die aber, gleich vielen andern derselben Verfasser, so voll interessanter Sätze und Fragestellungen steckt, daßes schwer ist, in kurzen Worten das wesentliche wiederzugeben.
In einer früheren Arbeit (F. d. M. 43, 311 (JFM 43.0311.*), 1912) hatten die Verf. die Frage offen gelassen, ob (s. den Schlußsatz des ebengenannten Referates) aus der \(B\)-Summierbarkeit einer Reihe \(\sum a_n\) zusammen mit der Voraussetzung, daß\(\sqrt{n}a_n\) beschränkt bleibe, die Konvergenz der Reihe folge. (Unter der Annahme \(\sqrt{n}a_n\to 0\) war dies damals bewiesen worden.) Diese Frage wird jetzt im bejahenden Sinne entschieden. Der Beweis ist wesentlich schwieriger als der damalige. (Vgl. die nachst. besprochene Arbeit von Valiron.)
In der zweiten Hälfte der Arbeit werden zwei neue Summierungsverfahren angegeben und über ihre Beziehungen zu dem Borelschen und Cesàroschen Verfahren einige Sätze bewiesen, viele genannt und eine große Zahl Fragen aufgeworfen:
1. Eine Reihe \(\sum a_n\) mit den Teilsummen \(s_n\) heiße \((E,a)\)-summierbar mit der Summe \(s\), wenn \[ \lim_{\mu\to+\infty}\sqrt{\frac{a}{\pi\mu}}\sum_{h=- \infty}^{+\infty}e^{-ih^2/\mu}s_{h+\mu}=s \] ist. Dabei sind alle \(s_\nu\) mit negativem Index =0 zu setzen.
2. Es sei \(F(y)=\sum a_ne^{-ny}\) für \({\mathfrak R}(y)>0\) konvergent und es sei \[ \sum b_n\equiv\sum\frac{(- k)^n}{n!}F^{(n)}(k) \] die Taylorsche Entwicklung von \(F(y)\) um die Stelle \(k>0\) für den Nullpunkt der Ebene. Dann soll \(\sum a_n\) “mit dem Radius \(k\) summierbar zur Summe \(s\)” heißen, wenn \(\sum b_n\) konvergent und \(=s\) ist. – Hier gilt z. B. der
Satz: Ist \(\sum a_n\) mit dem Radius \(k\) summierbar, so ist sie auch mit jedem kleineren Radius und zur selben Summe summierbar. – Ferner der schon 1912 von M. Riesz vermutete
Satz: Wenn \(a_n\to 0\) strebt, so ist \(\sum a_n\) dann und nur dann \(B\)-summierbar, wenn die um den Mittelpunkt \(+\frac 12\) angesetzte Taylorsche Entwicklung von \(\sum a_nx^n\) im Punkte +1 der Ebene konvergiert.

Reviewer: Knopp, Prof. (Königsberg)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.

Citations:

JFM 43.0311.*

References:

[1]	G. H. Hardy andJ. E. Littlewood,The Relations between Borel’s and Cesàro’sMethods of Summation [Proceedings of the London Mathematical Society, series II, vol. XI (1912-1913), pp. 1–16]. · JFM 43.0311.02
[2]	For an explanation of our reasons for giving this name to the theorem, seeG. H. Hardy andJ. E. Littlewood,Contributions to the arithmetic Theory of Series [Proceedings of the London Mathematical Society, series II, vol. XI (1912–1913), pp. 411–478 (p. 413)].
[3]	SeeG. H. Hardy andM. Riesz,The general Theory of Dirichlet’s Series [Cambridge Mathematical Tracts, no. 18, 1915], p. 56.
[4]	We cannot quote any general theorem of which this equation is a direct corollary: but the materials necessary for the proof will be found in our paper “ Contributions, etc. {”, loc. cit.2), pp. 452 et seq.}
[5]	G. H. Hardy,The Application to Dirichlet’sSeries of Borel’sexponential Method of Summation [Proceedings of the London Mathematical Society, series 11, vol. VIII (1910), pp. 277–294].
[6]	G. H. Hardy,Researches in the Theory of divergent Series and divergent Integrals [Quarterly Journal, vol. XXXV (1904), pp. 22–66], p. 40; T. J. ľA. Bromwich,Infinite Series, pp. 319–322. · JFM 34.0279.02
[7]	M. Riesz,Sur la représentation analytique des fonctions définies par des séries de Dirichlet [Acta Mathematica, t. XXXV (1912), pp. 253–270]. · JFM 43.0502.01