Remarques sur la sommation des séries divergentes par les méthodes de M. Borel. (French) JFM 46.0487.01

Valiron, G.

Palermo Rend. 42, 267-284 (1917).

Die Arbeit schließt an die vorstehende Note von Hardy und Littlewood an, deren Hauptsatz sich auf die \(B\)- Summierbarkeit bezieht, bei der eine Reihe \(\sum a_n\) mit den Teilsummen \(s_n\;B\)-summierbar mit der Summne \(s\) genannt wird, wenn \[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}\sum_{n=0}^\infty s_n\frac{x^n}{n!}=s \] ist. Statt nun die Exponentialfunktion als konvergenzerzeugende Funktion zu nehmen, wählt Verf. eine beliebige ganze Funktion \(F(x)=\sum c_nx^n\) deren Koeffizienten im Sinne der Borelschen Wachstumstheorie “sehr regelmäßig” sind. Für das durch \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{F(x)}\sum_{n=0}^\infty c_ns_nx^n=s \] definierte Verfahren gelten dann ähnliche Sätze wie die von Hardy und Littlewood für die \(B\)-Summierbarkeit bewiesenen.

Reviewer: Knopp, Prof. (Königsberg)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.

References:

[1]	G. H. Hardy andJ. E. Littlewood,Theorems concerning the Summability of Series by Bore’sexponential Method [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XLI (1916), pp. 36–53]. · JFM 46.0486.04 · doi:10.1007/BF03018286
[2]	G. H. Hardy andJ. E. Littlewood,The Relations between Bore’s and Cesaro’s Methods ot Summation [Proceedings of the London Mathematical Society, series II, vol. XI (1912-1913), pp. I-16]. Voir également le mémoire des mêmes auteurs;Contributions to the Arithmetic Theory of Series (ibidem, pp. 411-478).
[3]	VoirE. Borel,Leçons sur les séries divergentes (Paris, Gauthier-Villars, 1901), p. 141 et suivantes.
[4]	Une généralisation du même genre a été faite parM. E. Landau dans le cas du théoréme deTauber: Übertinen Satz des Herrn Littlewood [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXV (i{\(\deg\)} semestre 1913). pp. 265–276].
[5]	Voir lesLeçons sur les séries divergentes, 1. c. 3), p. 92.
[6]	Dans tout ce qui suit je désignerai par .(x) toute fonction tendant vers zéro, et par {\(\lambda\)}(x) toute fonction restant bornée lorsquex croît indéfiniment.
[7]	Voir G. Valiron,Thése, en particulier page 34.
[8]	Le signe indiquera dans tout ce qui suit que le rapport des deux membres a pour limite un ou qu’ils tendent simultanément vers zéro.
[9]	C’est dans les mêmes conditions que ľon pourra écrire ľégalité (2. 125) du mémoire deM. M. Little wood etHardy, la démonstration du lemne 2. 12 devra ître modifiée en conséquence.
[10]	loe. cit. 7)