Perron, O. Über lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung, deren charakteristische Gleichung zwei gleiche Wurzeln hat. (German) JFM 46.0706.01 Sitzungsber. Heidelb. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 1917, 17. Abh., 20 S. (1917). §1. Die Koeffizienten der Differenzengleichung \[ D_{\nu+2}+g_\nu D_{\nu+1}+h_\nu D_\nu=0\quad (\nu=0,1,2,\ldots) \] mögen für \(\nu\to\infty\) gewissen Grenzwerten \(\lim_{\nu=\infty}g_\nu=a\), \(\lim_{\nu=\infty}h_\nu=b\) zustreben. Das Verhalten der Integrale für große Werte von \(\nu\) hängt dann ab von den Wurzeln \(\rho_1,\rho_2\) der “charakteristischen Gleichung” \(\rho^2+a\rho+b=0\), wie zuerst Poincaré gezeigt hat. Haben diese Wurzeln ungleiche absolute Beträge, so existiert für jedes Integral, das nicht von einem gewissen \(\nu\) andauernd verschwindet, der Grenzwert \(\lim_{\nu=\infty}\frac{D_{\nu+1}}{D_\nu}\) und ist gleich \(\rho_1\) oder \(\rho_2\) (vgl. die Arbeit des Verf. im [J. Reine Angew. Math. 136, 17–37 (1909; JFM 40.0385.01)]). Die Poincarésche Behauptung, daßdas im Fall \(\rho_1=\rho_2\) sich ebenso verhalte, wird in der vorliegenden Arbeit widerlegt. Für \(\rho_1=\rho_2\) ist \(a=- 2\rho_1,b=\rho_1^2\), also \(\lim_{\nu=\infty}g_\nu=- 2\rho_1,\lim_{\nu=\infty}h_\nu=\rho_1^2\). Nun sind die beiden Fälle \(\rho_1\neq 0\) und \(\rho_1=0\) zu unterscheiden. Im ersten Falle kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(\rho_1=1\) gesetzt werden, und die Differenzengleichung nimmt die Form an: \[ D_{\nu+2}-(2+p_\nu)D_{\nu+1}+(1+q_\nu)D_\nu=0\;(\lim_{\nu=\infty}p_\nu=0,\lim_{\nu=\infty}q_\nu=0); \tag{A} \] im zweiten Falle dagegen: \[ D_{\nu+2}+p_\nu D_{\nu+1}+q_\nu D_\nu=0\;(\lim_{\nu=\infty}p_\nu=0,\lim_{\nu=\infty}q_\nu=0). \tag{B} \] In den §§2 und 3 gibt Verf. Beispiele für Differenzengleichungen vom Typus A und B an, bei denen der Grenzwert \(\lim_{\nu=\infty}\frac{D_{\nu+1}}{D_\nu}\) nicht existiert. In den §§4 und 5 werden den Koeffizienten gewisse Bedingungen auferlegt, durch die die Existenz dieses Grenzwertes erzwungen wird. Im §6 wird folgender Satz bewiesen: “Für jedes Integral \(D_\nu\) einer Differenzengleichung vom Typus (B) ist \(\lim_{\nu=\infty}M^\nu D_\nu=0\), wie großdie positive Zahl \(M\) auch sei.” (Spezialfall des Hilfssatzes 1 der Arbeit des Verf. im [J. Reine Angew. Math. 137, 6–64 (1909; JFM 40.0385.02)].) Dieser Satz wird zum Schlußvom Verf. noch verschärft. Reviewer: Wallenberg, Prof. (Berlin) Cited in 1 ReviewCited in 3 Documents MSC: 39A06 Linear difference equations JFM Section:Kapitel 11. Differenzengleichungen und verwandte Funktionalgleichungen. Analytische Theorie der Kettenbrüche. Keywords:linear difference equations of second order; characteristic equation; two equal roots Citations:JFM 40.0385.01; JFM 40.0385.02 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI