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Über die Eineindeutigkeit im Kleinen und im Großen stetiger Abbildungen von Gebieten. (German) JFM 46.0834.03

Damit zwei eindeutige stetige und stetig differentiierbare in einem Gebiet \(G\) der \(x, y\)-Ebene definierte Funktionen \(u, v\) eine eindeutig umkehrbare Abbildung auf ein Gebiet \(G'\) der \(u, v\)-Ebene liefern, ist das Nichtverschwinden der Funktionaldeterminante \(\partial(uv)/\partial(xy)\) nicht hinreichend. Hinreichend für eine \(m\)-deutige stetige Umkehrung, wo \(m\) in \(G'\) konstant und endlich ist, ist “Eindeutigkeit im Kleinen” und daß den Teilmengen ohne Häufungspunkt in \(G\) ebensolche Mengen in \(G'\) entsprechen (gilt auch im Raum von \(n\) Dimensionen). Ist \(n=2\) und \(G\) einfach zusammenhängend, so ist es auch \(G'\) und es ist \(m=1\). Hinweis auf Verallgemeinerungen auf \(n>2\). Anwendung auf einen Satz von Picard über konforme Abbildung im Großen: Ist \(G\) von einer Jordanschen Kurve \(C\) der \(x\)-Ebene berandet und wird \(C\) durch die in \(G\) analytische, in \(\overline G=G+C\) stetige Funktion \(w=f(z)\) auf eine Jordansche Kurve \(C'\) der \(w\)-Ebene eineindeutig abgebildet, so liefert \(f(z)\) eine eineindeutige stetige, in \(G\) konforme Abbildung von \(\overline G\) auf das von \(C'\) berandete abgeschlossene Gebiet. (IV 3 C, IV 4).

MSC:

54-XX General topology
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