On the measure of classes of Hermite of a given discriminant in an imaginary quadratic field, and on certain non-euclidean volumes. (Sur la mesure des classes d’Hermite de discriminant donné dans un corps quadratique imaginaire, et sur certains volumes non euclidiens.) (French) JFM 47.0138.01

Humbert, G.

C. R. 169, 448-454 (1919).

Eine positive Hermitesche Form, deren Koeffizienten ganze Zahlen von \(k(\sqrt{- P}), P \equiv 1\) oder 2 (mod. 4), sind, heißt reduziert, wenn der sie repräsentierende Punkt des Halbraumes in den Diskontinuitätsbereich der Gruppe \(\Gamma\) der unimodularen Substitutionen \(\left(\begin{matrix} \lambda &\mu\\ \nu &\varrho \end{matrix} \right)\) fällt, wo \(\lambda, \mu, \nu, \varrho\) ganze Zahlen von \(k (\sqrt{-P})\) sind. Dann gilt die Formel: \[ \sum \frac 1k \frac {1}{[AC-B_1^2-PB_2^2]^s} = \frac P8 \sum \left[ \frac 1p \left( \frac{-1}p\right)\sum \left( \frac np\right) \frac {1}{n^{s-1}} \cdot \sum\left( \frac{-P}{n} \right)\left( \frac np \right) \frac {1}{n^s}\right]. \]
Die Summe links erstreckt sich über alle reduzierten positiven Hermiteschen Formen \((A, B_1 + \sqrt{-p}B_2, B_1- \sqrt{-P}b_2, C),\) für die \(A\) und \(C\) nicht zugleich gerade sind; \(k\) ist die Zahl ihrer Automorphien. Ihre Diskriminante mußzu \(2P\) teilerfremd sein. \(p\) durchläuft alle ungeraden Teiler von \(P, n\) alle ganzen, zu \(2P\) teilerfremden, positiven Zahlen.
Hieraus ergibt sich das Hermitesche Maßder Klassen der Diskriminante \(\Delta.\)
Geht man in der Formel zur Grenze \(s = 2\) über, so geht die rechte Seite über in \[ \frac 18 P \frac 12 \prod_{(\pi)} \left[1- \frac 1\pi \right]\sum \left( \frac{-P}{n}\right) \frac {1}{n^2}, \] wo \(\pi\) einen ungeraden Primteiler von \(P\) bezeichnet, und \(n\) alle positiven, zu \(2P\) teilerfremden Zahlen durchläuft. Die linke Seite nimmt den Wert an: \[ 6\cdot P^4 \prod_{(\pi)}\left[1- \frac 1\pi\right]\cdot \frac {1}{2\sqrt P}V\cdot \frac {1}{16 P^4}, \] wo \(V\) das Nicht-Euklidische Volumen des Diskontinuitätsbereiches von \(\Gamma\) ist. Daraus folgt: \[ V =\frac 13P^{\frac 32}\sum_{(n)} \left( \frac {-P}{n}\right) \frac {1}{n^2}. \]
Für \(P =1\) ergibt sich das Volumen des Picardschen Bereiches.

Reviewer: Fueter, Prof. (Zürich)

MSC:

11E45

Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 7. Arithmetische Theorie der Formen.

Keywords:

Binary Hermitian forms