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Sur l’allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. (French) JFM 47.0454.01

In zahlreichen Fällen ist es erwünscht, genaue Aufschlüsse über das Verhalten der Greenschen sowie der Neumannschen Funktion (der Greenschen Funktionen erster und zweiter Art) zu besitzen. Der Verf. behandelt, in Durchführung seiner früheren vorläufigen Mitteilungen (C. R. 158, 1008; F. d. M. 45, 591 (JFM 45.0591.*), 1914-15) die folgenden Probleme. Sei \(\Phi(x, y, z; \xi, \eta, \zeta)\) irgendeine der beiden vorhin genannten Funktionen. Es ist eine Funktion \(\varphi (x, y, z; \xi, \eta, \zeta)\) explizite anzugeben, so daß\(\Phi - \varphi\) für alle \((x, y, z); (\xi, \eta, \zeta)\) in einer gewissen Umgebung (des analytisch und regulär vorauszusetzenden Randes des Gebietes analytisch und regulär ist. Für dieses Problem wird für ebene Gebiete die Lösung in Gestalt eines leicht zu diskutierenden Randintegrals geliefert das, wie der Verf. hervorhebt, bereits von E. E. Levi angegeben worden ist (Gött. Nachr. 1908, 249; F. d. M. 39, 413 (JFM 39.0413.*)). Eine andere analoge Formel wird für die am Rande nebst ihrer Normalableitung verschwindende Greensche Funktion der Differentialgleichung \(\Delta\Delta u = 0\) bestimmt.
Im Raume hat, wie es scheint, das betrachtete Problem keine Lösung. Darum behandelt hier der Verf. das folgende modifizierte Problem: Es ist eine Funktion \(\varphi (x, y, z; \xi, \eta, \zeta)\) explizite anzugeben, so daßdie Differenz \(\Phi- \varphi\) nebst allen ihren Ableitungen bis zu einer vorgeschriebenen (nach Bedarf beliebig hohen Ordnung) in einer gewissen Umgebung des Randes beschränkt bleibt. Auch dieses Problem wird durch relativ einfache Rechnungen vollkommen erledigt. Die Ergebnisse des Verfassers müssen als wesentliche Fortschritte der Potentialtheorie bewertet werden.

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References:

[1] Voir sur ce sujet les observations deM. Hadamard à la suite de ma note citée.
[2] Eugenio Elia Levi.Sur l’application des équations intégrales au problème de Riemann [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1908] etI problemi dei valori al contorno per le equazioni lineari totalmente ellitiche alle derivate parziali [Memorie della Societa italiana delle Scienze, 1909]. En publiant ma note des Comptes Rendus, et même en rédigeant le présent travail, j’ignorais les résultats deM. E. E. Levi. Lorsque j’en ai eu connaissance, je n’ai pas supprimé la première partie de ce travail, qui pourtant ne contenait plus de résultats nouveaux que dans le chapitre IV. Il m’a semblé qu’elle était nécessaire dans un exposé complet de la question que j’étudiais, et d’ailleurs mon exposition est assez différente de celle deM. E. E. Levi.
[3] Umberto Cisotti.Les comportamento della funzione di Neumann in punti prossimi al contorno [Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1911, 1o semestre]. Il y a d’ailleurs une erreur dans la formule finale de ce travail. La formule qui doit être substituée à celle deM. Cisotti sera indiquée à la fin du § 33.
[4] H. Bruns. –Ueber einen Satz aus der Potentialtheorie [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 81 (1876)]. Voir aussi l’élégant exposé deM. Erhard Schmidt:Bemerkung zur Potentialtheorie [Mathematische Annalen, Band 68 (1910)].
[5] Jacques Hadamard. –Memoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaques élastiques encastrées. [Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences de l’Institut de France, t. XXXIII (1908)]. V. pp. 23–27.
[6] La méthode du texte est une méthode de vérification. Le lecteur obtiendra aisément, en s’inspirant de celle qui sera appliquée à l’étude de la fonction deGreen dans l’espace, une méthode permettant d’arriver aux mêmes résultats sans introduirea priori la fonctionI B A .
[7] Paul Lévy. –Sur les équations intégro-différentielles définissant des fonctions de lignes (Paris, Gauthier-Villars, 1911 et Journal de l’Ecole Polytechnique, 1913). V. § 31.
[8] Loc. cit. V. § 35. – Les notations employées dans le travail cité étant différentes de celles du travail actuel, le résultat rappelé dans le texte était énoncé sous une forme un peu différente.
[9] Ces définitions diffèrent de celles du chapitre I, d’une part parce que nous avons remplacé la notion de fonction singulière d’ordre (h) par la notion plus précise de fonction singulière d’ordreh, d’autre part parce que la condition auxiliaire relative aux intégrales (I) ne joue plus ancun rôle, enfin parce que le point singulier est sur la frontière de la région dans laquelle les fonctions sont régulières, sauf en ce point.
[10] Cette fonction est algébrique, car la partie non algébrique, si elle existait, serait nécessairement, étant donnée la forme des fonctionsu p , de la formea log (r+z),a étant une constante, et deviendrait infinie. Or elle doit prendre surS der valeurs finies.
[11] Nous devons entendre ici par valeur principale d’une expression infiniment petite une expression plus simple qui n’en diffère que par des infiniment petits d’un ordere supérieur au moins d’une unité. Ainsi nous ne pouvons pas négligerx devantx logp.
[12] C’est cette formule qui doit remplacer celle du travail cité deM. Cisotti, qui contenait, en outre, des termes qui, avec nos notations, s’écriraient \( - \frac{{EC}}{{24}}\frac{{x^2 - y^2 }}{{(r + z)^2 }}(2r + z)\log r - \frac{{E^2 }}{{16}}z\log r.\) D’après cette formule, la dérivée normale deY M A ne resterait pas finie. Nous savons d’ailleurs que, quel que soit le nombre de fonctionsV que l’on calcule, la partie non algébrique de l’expression obtenue est le produit de log (r+z) par un polynôme enx, y, z. L’expression deM. Cisotti n’est pas réductible à une pareille forme.
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