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Ein algebraisches Kriterium für absolute Irreduzibilität. (German) JFM 48.0081.03

Es wird folgender Satz bewiesen: “Jedem Polynom von \(n \geqq 2\) Veränderlichen mit unbestimmten Koeffizienten läßt sich eine ganzrationale ganzzahlige Funktion dieser Koeffizienten und weiterer Unbestimmten zuordnen, deren Nichtverschwinden für jedes spezielle Polynom gleichen Grades die notwendige und hinreichende Bedingung der absoluten Irreduzibilität darstellt”. Die Koeffizienten dürfen dabei einem beliebigen Körper angehören; absolute Irreduzibilität bedeutet Irreduzibilität im zugehörigen algebraisch abgeschlossenen Erweiterungskörper.
Als Folgerung ergibt sich ein Satz von Ostrowski über Polynome mit algebraischen Zahlen als Koeffizienten.

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References:

[1] Daß sich jeder Körper, und zwar im wesentlichen sindeutig, zu einem algebraisch-abgeschlossenen erweitern läßt, d. h. zu einem solchen, in dem jedes Polynomeiner Veränderlichen in Linearfaktoren zerfällt, hat E. Steinitz in seiner ?Algebraischen Theorie der Körper? (J. f. M.137 (1910), S. 167) gezeigt; und hat damit das rationale Äquivalent für den Fundamentalsatz der Algebra gegeben.
[2] Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Gött. Nachr. 1919, S. 279 (Hilfssatz S. 296). ? Für den Fall der aus gewöhnlichen Zahlen bestehenden Körper ist Ostrowski, wie mir bekant ist, auch auf den obigen Hauptsatz gekommen; er wird seine diesbezüglichen Untersuchungen demnächst veröffentlichen. Daß bei meiner Beweisanordnung der Hauptsatz für beliebige, abstrakt definierte Körper gilt, beruht darauf, daß die für Unbestimmte gebildete Reduzibilitätsform von demspeziell zugrunde gelegten Körper unabhängige Zahlkoeffizienten besitzt.
[3] D. Hilbert, Mathematische Probleme, Gött. Nachr. 1900, S. 253, Problem 14.
[4] Festschrift, S. 11.
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