Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten. (Bearbeitet von Emmy Noether.). (German) JFM 48.0094.03

Hentzelt, Kurt

Math. Ann. 88, 53-79 (1922).

Die große Bedeutung dieser seit den Arbeiten von Kronecker und Mertens zur Eliminationstheorie wichtigsten Veröffentlichung auf diesem Gebiete beruht auf der Einführung der ”Resultantenform”, die alle Vorzüge der Kroneckerschen Gesamtresolvente eines Gleichungssystems ohne deren Nachteile besitzt, so daß sie geeignet erscheint, jene völlig zu ersetzen. Insbesondere sind die Exponenten ihrer irreduziblen Faktoren von der Basis unabhängig, können also mit Fug und Recht als Multiplizitäten der betreffenden Nullstellen angesprochen werden; ebenso gelingt der Beweis der Zerlegung in Linearfaktoren bei Einführung neuer Unbestimmten.
Die Bearbeitung kehrt die prinzipiellen Methoden, insbesondere die Zurückführung des Problems auf Moduln aus Linearformen, aufs schönste heraus und ist insofern eine verdienstvolle eigene Leistung der Bearbeiterin. Ein Desideratum, freilich bleibt noch übrig, und erst seine Erfüllung wird die schönen Hentzeltschen Gedanken recht wirksam machen: Es wird uns nicht gesagt, wie man die Resultantenform bei gegebener Basis mit endlich vielen Schritten bilden soll! Und doch scheint Hentzelt selbst die betreffenden Methoden entwickelt zu haben; hoffentlich bleiben sie uns nicht mehr lange vorenthalten.
Was die Methoden selbst betrifft, so besteht der Hauptgedanke darin, daß ein gegebenes Ideal aus Polynomen aufgefaßt wird als Modul \(\mathfrak M_{i-1}\) aus Linearformen in den Potenzprodukten von \(i-1\) der \(n\) Variablen, während als Koeffizienten Polynome in den \(n-i+1\) übrigen auftreten. Für die in Betracht kommenden Zwecke kann man sich trotz der unendlichen Anzahl dieser Potenzprodukte auf endlich viele beschränken und die Begriffe benutzen, die für Moduln aus Linearformen in endlich vielen Variablen entwickelt werden. Unter diesen sind die wichtigsten die Begriffe des “Grundmoduls” zu einem gegebenen Modul und der “Norm” des Grundmoduls nach dem gegebenen Modul; auch die Elementarteilertheorie spielt eine Rolle. In der Übertragung auf die Idealtheorie wird dann die Resultantenform das Produkt \(R^{(1)}R^{(2)}\ldots R^{(n)}\), wobei \(R^{(i)}\), die “Resultante \(i\)-ter Stufe”, die Norm des Grundmoduls \(\mathfrak G_{i-1}\) von \(\mathfrak M_{i-1}\) nach \(\mathfrak M_{i-1}\) bedeutet. Die Einzelheiten der Entwicklung müssen in der Arbeit selbst nachgelesen werden.

Reviewer: Schmeidler, W., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 4. Theorie der Formen. Determinanten. Invariantentheorie. Symmetrische Funktionen und Verwandtes. Bilineare und quadratische Formen. Lineare Substitutionen. Modulsysteme und Elimination.

References:

[1]	Diese letzteren Resultate zeigen ihre eigentliche Bedeutung, wenn man die Zerlegung der Ideale in primäre heranzieht; die einem primären Ideal entsprechende Multiplizität ist dann definiert als Anzahl der linear unabhängigen Restklassen des Komplements nach diesem Ideal; darauf soll an anderer Stelle eingegangen werden. (E. N.)
[2]	Vgl. Macaulay, The algebraic theory of modular systems, Cambridge Tracts 19 (Cambridge University Press, 1916); Nr. 67; auch Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann. 60 (1905), S. 20-116; S. 98. Daß in diesem Fall Resultante und Resultantenform übereinstimmt, ist in den unter1) erwähnten, noch nicht veröffentlichten Sätzen von Hentzelt gezeigt. (E. N.)
[3]	Der versuchte Beweis bei König, Algebraische Größen (Leipzig 1903, Teubner), V, § 4?für die Kroneckersche Eliminationstheorie?ist bekanntlich nicht gelungen. Daß auch bei den von König in die Kroneckersche Eliminationstheorie eingeführten Multiplizitäten der zweite Teil des Hentzeltschen Hauptsatzes nicht gilt, zeigt Macaulay a. a. O. S. 28, wo weiter gezeigt wird, daß die Kroneckersche Eliminationstheorie nicht der Zerlegung in primäre Ideale entspricht. (E. N.)
[4]	Vgl. Steinitz, Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern IL Math. Ann72 (1912), S. 297-345, Nr. 36. Hentzelt scheint aber jedenfalls unabhindig. von mit dem sich auch sonst Berührpunkte finden, für seinen einf Fall zu dem Begriff, in der Fassung von Formel (4), gekommen zu sein. · JFM 43.0274.01
[5]	Bei Dedekind handelt es sich um Zahlenmoduln, für die auch eineMultiplikation definiert ist, eo daß der Dedekindsche Quotient nicht mit dem hier definierten Quotienten übereinstimmt. (E. N.)
[6]	Die begrifflich sich ergebende Bezeichnung ?Ideal? anstatt des früher allgemein üblichen ?Modul? oder ?Formenmodul? erweist sich hier schon zur Unterscheidung von den Moduln aus Linearformen als notwendig. (E. N.)
[7]	Satz VI wird erst in § 7 benützt.
[8]	Dedekind: Über einen arithmetischen Satz von Gauß, Mitt. d. deutsch, math. Ges. zu Prag 1892. F. Mertens: Über einen algebraischen Satz, Ber. d. Ak. d. Wissensch. Wien101, (1892), S. 1560-1566. ? Die Kroneckersche Erweiterung des Gaußschen Satzes auf Polynome mit unbestimmten Koeffizienten ist eine unmittelbare Folgerung dieses Satzes.
[9]	Es ist das im Prinzip derselbe Schluß, auf dem die Isomorphie von \(\mathfrak{G}_{i - 1}^* \left| {\mathfrak{W}_{i - 1}^* mit \mathfrak{G}_{i - 1} } \right|\mathfrak{W}_{i - 1} \) beruhte.