Sur l’opération \(A\) de l’analysis situs. (French) JFM 48.0210.04

Kuratowski, C.

Fundamenta math. 3, 182-199 (1922).

Mit \(\bar A\) bezeichnet der Verf. (vermutlich im Anschluß an Carathéodory, Vorl. über reelle Funktionen) die abgeschlossene Hülle der Menge \(A\), d.h. die Vereinigungsmenge von \(A\) mit seinen Häufungspunkten. Diese Operation \(\bar A\) wird hier ganz systematisch und axiomatisch untersucht. Vier (voneinander unabhängige) einfache Grundeigenschaften der Operation \(\bar A\) werden als Axiome an die Spitze gestellt, und aus ihnen wird alles weitere abgeleitet. Die Räume, in denen diese 4 Axiome gelten, sind allgemeiner als die Fréchetschen Klassen (\(S\)) [d. h. die Klassen (\(L\)), in denen die Ableitungen abgeschlossen sind]. Es werden eine Reihe einfacher Sätze abgeleitet, die den Zusammenhang von \(\bar A\) mit Summe, Differenz, Durchschnitt und Übergang zur Komplementärmenge betreffen; letztere wird mit \(A^1\) bezeichnet. Insbesondere werden alle die wesentlich verschiedenen Mengen angegeben, die sich aus einer Menge \(A\) mit Hilfe wiederholter Anwendung der Operationen \(\bar A\) und \(A^1\) bilden lassen: im ganzen ergeben sich (\(A\) selbst eingeschlossen) genau 14 solche, im allgemeinen voneinander verschiedene Mengen, die natürlich geometrische Bedeutung haben. Z, B. stellt \((\overline {A^1})^1\), kürzer geschrieben \(A^{1-1}\), die Menge der inneren Punkte von \(A\) dar. Ferner, wenn \(A^{1-1-} = A\) ist, so bedeutet dies: \(A\) ist abgeschlossene Hülle einer offenen Menge; Verf. bezeichnet diese als “ens. fermé régulier”. Wird der Gesamtraum durch eine beliebige Menge \(R\) ersetzt, so entstehen entsprechende Relativbegriffe; in seinen Formeln drückt der Verf. dies dadurch aus, daß er 1 durch \(R\) ersetzt. (V 2.)

Reviewer: Rosenthal, Prof. (Heidelberg)

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Mengenlehre. Allgemeines und abstrakteMengen. Punktmengen.