Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. (German) JFM 48.0485.05

Rademacher, H.

Math. Ann. 87, 112-138 (1922).

In Verschärfung eines bekannten Satzes von Weyl wird gezeigt: Bilden die \(\varphi_\nu(x)\) ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles \((0,1)\) und ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu^2\) konvergent, bestimmt man ferner eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen \(\lambda(\nu)\) so, daß auch noch \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty \lambda(\nu)c_\nu^2\) konvergiert (was auf unendlich viele Arten möglich ist) und versteht man unter \(\varLambda_\varrho\) das kleinste \(\lambda(\nu)\), für das \(\lambda(\nu) \geqq \varrho\), so stellt \(\lim\limits_{\nu\to \infty}\sum\limits_{\nu=1}^{\varLambda_n} c_\nu\varphi_\nu(x)\) überall in \((0,1)\), abgesehen von einer Nullmenge, eine endliche Funktion dar. Daraus kann in bekannter Weise der Riesz-Fischersche Satz gewonnen werden. – Ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty (c_\nu\log \nu)^2\) konvergent, so konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu\varphi_\nu(x)\) überall, abgesehen von einer Nullmenge (bisher war dies – nach Plancherel – nur bekannt, wenn \(\sum c_\nu^2(\log\nu)^3\) konvergiert). Ist \(\sum c_\nu^2\) konvergent, so ist überall, abgesehen von einer Nullmenge: \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu\varphi_\nu(x)=o(\log n)\). Ferner gelten (abgesehen von einer Nullmenge) die Abschätzungen: \(\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)=O(n^{\frac 12}(\log n)^{\frac 32 +\varepsilon})\), \(\sum\limits_{\nu=1}^n a_\nu\varphi_\nu(x)=O(\log n) (\sum\limits_{\mu=1}^n a_\mu^2)^{\frac 12 +\varepsilon})\). Alle diese Abschätzungen gelten “wesentlich gleichmäßig”. Alle diese Resultate gelten auch, wenn die \(\varphi_\nu(x)\) nicht ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles \((a,b)\) bilden, wenn nur der Ausdruck \( \int\limits_a^b \bigl(\sum\limits_{\nu=1}^\infty z_\nu \varphi_\nu(x)\bigr){}^2\,dx\) eine beschränkte quadratische Form der \(z_\nu\) ist (denn dann können die \(\varphi_\nu(x)\) so auf ein größeres Intervall ausgedehnt werden, daß sie in diesem größeren Intervall ein normiertes Orthogonalsystem bilden).– Seien die \(\varphi_\nu(x)\) wieder ein normiertes Orthogonalsystem in \((0,1)\). Die Ausdrücke \(\varrho_\nu(x)= \int\limits_0^1\bigl|\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)\varphi_\nu(y)\bigr|\,dy\) werden als die zugehörigen “Lebesgueschen Funktionen” bezeichnet (im Falle des trigonometrischen Orthogonalsystems reduzieren sie sich auf Konstante und sind dort als “Lebesguesche Konstante” bekannt). Abgesehen von einer Nullmenge gilt die Abschätzung \(\varrho_\nu(x)= O\bigl((\log n)^{\frac 32+\varepsilon}n^{\frac 12}\bigr)\), die sich, falls die \(\varrho_\nu(x)\) Konstante sind, zu \(\varrho_\nu = O(n^{\frac 12})\) verschärft. – Es wird folgendes normierte Orthogonalsystem von \((0,1)\) näher studiert: \(\psi(x)=2e_\nu(x)-1\), wo \(e_\nu(x)\) die \(\nu\)-te Stelle der Dezimalbruchentwicklung von \(x\). Hier kann die Abschätzung \(\sum\limits_{\nu=1}^n \psi_\nu(x) =O(n^{\frac 12})\) nur in einer Nullmenge gelten; es kann also in der oben gegebenen Abschätzungsformel für \(\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)\) die rechte Seite nicht zu \(O(n^{\frac 12})\) verschärft werden. Die Lebesgueschen Funktionen werden hier Konstante \(\varrho_n\), die asymptotisch gleich \(\sqrt{\dfrac{2n}\pi}\) sind, so daß die oben gegebene Abschätzung \(\varrho_n = O(n^{\frac 12})\) nicht verschärft werden kann. Ist \(\sum c_\nu^2\) konvergent, so konvergiert \(\sum c_\nu \psi_\nu(x)\) überall, abgesehen von einer Nullmenge.

Reviewer: Hahn, Prof. (Wien)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen und verwandte Funktionalgleichungen. Funktionen unendlich vieler Veränderlichen. Orthogonale Funktionensysteme.

References:

[1]	Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orhogonalfunktionen fortschreiten, Math. Ann.67 (1909), S. 225-245, insbes. S. 243-245. · JFM 40.0310.04
[2]	F. Jerosch und H. Weyl, Über die Konvergenz von Reihen, die nach periodischen Funktionen fortschreiten, Math. Ann.66 (1909), S. 67-80; vgl. auch die unter 1) zitierte Arbeit von Weyl, S. 229 oben. · JFM 39.0320.04 · doi:10.1007/BF01450911
[3]	A. a. O. Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, Math. Ann.67 (1909), S. 226 ff. · JFM 40.0310.04
[4]	On the convergence of series of orthogonal functions. Proc. of the London Math. Soc. (2)12 (1913), S. 297-308. · JFM 44.0303.04
[5]	Sur la convergence des séries de fonctions orthogonales. Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris157 (1913), S. 539-542. · JFM 44.0304.01
[6]	Proc. of the London Math. Soc. (2)14, S. 428-439, insbes. S. 429.
[7]	Math. Ann.84 (1921) [S. 117-136], S. 131.
[8]	A. a. O. Math. Ann.84 (1921) [S. 117-136], S. 131.
[9]	Das Maß einer MengeE wird durchmE bezeichnet.
[10]	A. a. O. Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, Math. Ann.67 (1909), S. 226-227. · JFM 40.0310.04
[11]	Sur les suites de fonctions measurables, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris152 (1911), S. 244.
[12]	Quelques remerques sur la détermination des valeurs moyennes, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris103 (1886), S. 980-987. Vgl. auch Rademacher, Über die asymptotische Verteilung gewisser konvergenzerzeugender Faktoren, Math. Zeitsehr.11, S. 276-288.
[13]	A. a. O. On the summability of Fourier’s series, Proc. of the London Math. Soc. (2)12 (1913), S. 369, Theorem 2.
[14]	Über Konvergenz und Divergenz von unendlichen Reihen, Math. Ann.35 (1890), S. 297-394, insbesondere S. 329.
[15]	A. a. O. Über Konvergenz und Divergenz von unendlichen Reihen, Math. Ann.35 (1890), S. 333.
[16]	Über endliche Gruppen und Hermitesche Formen, Math. Zeitschr.1 (1918), S. 183-207, Satz VII. · JFM 46.0174.03
[17]	Leçons sur les séries trigonométriques [Paris, 1906], S. 86-87.
[18]	Some Problems of Diophantine Approximation, Acta Mathem.37 (1914), S. 155-239, insbesondere S. 187, Theorem 1.47, und S. 189, Theorem 1. 471.
[19]	A. a. O. Some Problems of Diophantine Approximation, Acta Mathem.37 (1914), S. 155-239, insbesondere S. 187, Theorem 1. 45, S. 185. · JFM 45.0305.03
[20]	A. a. O. Sur les suites de fonctions mesurables, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris152 (1911), S. 244. · JFM 42.0423.01