Lévy, P. Sur la détermination des lois de probailité par leurs fonctions caractéristiques. (French) JFM 48.0600.03 C. R. 175, 854-856 (1922). Bei der Zurückführung des klassischen Gaußschen Fehlergesetzes auf dasjenige der großen Zahlen werden gewöhnlich Hypothesen herangezogen, die zwar hinreichend, aber durchaus nicht notwendig sind; so setzt z. B. Poincaré u. a. voraus, daß die charakteristische Funktion \(\varphi(z)\) der wahrscheinliche Wert von \(e^{izx}\), eine Taylorentwicklung zuläßt. Verf. nimmt nun in der ersten Note an, es genügten bereits die zwei folgenden Grundannahmen: 1. es werden nur solche Fehlergesetze \(F(x)\) betrachtet, für die \(m^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty x^2 \, dF(x)\) endlich ist, wobei zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(c = e(\varepsilon) >0\) derart -gleichmäßig für alle \(F(x)\) – gefunden werden kann, daß der Integralteil \(\int\limits_c^\infty\) in \(m^2\) kleiner als \(\varepsilon\) ausfällt; 2. daß für jeden Fehler \(\mu\) unter allen betrachteten \(\mu_h\) dann gilt: \(\mu^2 < \varepsilon^2 \sum \mu_h^2\). Auf einen Fehler in der folgenden Betrachtung aufmerksam gemacht (vgl. untenst. Referat), verbessert er dann in der zweiten Note die Bedingung 1. dahin, daß vielmehr \(\int\limits_{-\infty}^{-c} + \int\limits_c^\infty\) kleiner als \(\varepsilon\) ausfallen muß; unter den so berichtigten Bedingungen konvergiert für \(\varepsilon \to 0\) wenigstens die charakteristische Funktion \(\varphi(z)\) gegen den entsprechenden Ausdruck beim Gaußschen Fehlergesetz \(\left( = -\dfrac{z^2}{2}\right)\). In der dritten Note wird zuletzt durch Heranziehung von Stetigkeitsbetrachtungen allein dargetan, daß damit auch das Fehlergesetz \(F(x)\) selbst für \(\varepsilon \to 0\) gegen das Gaußsche konvergiert. Reviewer: Müntz, Dr. (Berlin) Cited in 2 ReviewsCited in 2 Documents JFM Section:Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst Anwendungen. (Ausgleichungsrechnung. Statistik. Versicherungswesen. Politische Arithmetik.) PDFBibTeX XMLCite \textit{P. Lévy}, C. R. Acad. Sci., Paris 175, 854--856 (1922; JFM 48.0600.03) Full Text: Gallica