×

Sur les fonctions entières d’ordre entier. (French) JFM 48.1219.02

Der Verf. hat (C. R. 172, 1226, 1921) für eine beliebige ganze Funktion \(f(z)\) bereits gezeigt, daß, mit den üblichen Bezeichnungen, \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \sum^\infty R_n^{-\varrho},\quad\int^\infty\log M(x)x^{-\varrho-1}\,dx \hfill} \] stets gleichzeitig divergieren bzw. konvergieren; in letzterem Falle ist bei ganzen \(\varrho\) das Geschlecht der Funktion gleich \(\varrho-1\).
Hier werden (zunächst ohne Beweis) entsprechende Resultate für \(f(z)- x\) und allgemeiner \(f (z) - P(z)\) bei gegebenem Polynom \(P(z)\) mit Koeffizienten in \(x\) abgeleitet, zugleich mit den folgenden Ergänzungen aus dem Ideenkreis des Picardschen Satzes:
A. Ist \(\varrho\) die genaue Ordnung von \(f (z)\) und (1) divergent, so divergiert auch \(\sum\limits^\infty R_n(x)^{-\varrho}\) für \(f (z) - x\), außer vielleicht für einen einzigen Wert von \(x\) (die Existenz solcher Ausnahmewerte war bereits bekannt). B. Alle Funktionen \(f (z) - P(z)\) sind vom Geschlecht \(\varrho\), außer vielleicht einer einzigen vom Geschlecht \(\varrho-1\), oder alle sind vom Geschlecht \(\varrho-1\), je nachdem die Ausdrücke (1) divergieren oder konvergieren.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Gallica