Sur les valeurs moyennes du module des fonctions harmoniques et des fonctions analytiques. (French) JFM 48.1268.04

Riesz, F.

Acta Litt. ac Scient. Univ. Hung. 1, 27-32 (1922).

Ein prinzipiell neuer Beweis und Erweiterungen eines Satzes von Hardy (Lond. M. S. Proc. (2) 14; F. d. M. 45, 1331 (JFM 45.1331.*), 1914-15) ergeben sich aus folgendem Satze des Verf.: Es sei \(g(x, y)\) eine im Innern eines Bereiches \(D\) definierte, reelle, stetige Funktion, die für jeden inneren Punkt \((x_0, y_0)\) des Bereiches und für hinreichend kleine Halbmesser \(r\) der Ungleichung \[ g(x_0, y_0)\leqq\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}g(x_0+r\cos\varphi, y_0+r\sin\varphi )d\varphi \tag{1} \] genügt. Unter diesen Bedingungen ist der Mittelwert in (1) eine wachsende Funktion für alle solchen Werte von \(r\), wobei die entsprechende Kreisscheibe aus dem Bereiche nicht herausragt. Der Mittelwert ist zugleich eine konvexe Funktion von log \(r\), und zwar auch in dem Falle, wo \(x_0\), \(y_0\) außerhalb des Bereiches \(D\) liegt, aber die mit dem Halbmesser \(r\) beschriebenen Kreise einen in \(D\) gelegenen Kreisring bilden. (IV 4.)

Reviewer: Riesz, M., Prof. (Lund)

JFM Section:

Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorie und Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Randwertaufgaben und Entwicklungssätze.

Citations:

JFM 45.1331.*