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Zur Newtonschen Approximationsmethode in der Theorie der \(p\)-adischen Gleichungswurzeln. (German) JFM 49.0116.02

K. Hensel (Theorie der algebraischen Zahlen S. 73f. (Leipzig 1908), F. d. M. 39, 269, 1908) hat gezeigt, daß man das Newtonsche Näherungsverfahren zur Bestimmung einer \(p\)-adischen Wurzel einer algebraischen Gleichung \(F(x) = 0\) anwenden kann. Man hat dazu von einem genügend hohen Näherungswert jener Gleichung, d. h. einer Lösung von \(F(x) \equiv 0\mod p^\varrho \) mit genügend hohem \(\varrho \) auszugehen und in der üblichen Weise diesen Näherungswert schrittweise zu verbessern. Für die Konvergenz des Verfahrens war nach Hensel außer einer genau angegebenen unteren Grenze für die Wahl von \(\varrho \) noch eine Reihe von Zusatzforderungen zu beachten, die sich auf gewisse, erst im Laufe des Verfahrens resultierende Ordnungszahlen bezogen. Verf. zeigt, daß diese für die praktische Anwendung unbequemen Zusatzforderungen entbehrlich sind, daß vielmehr durch Wahl von \(\varrho \) oberhalb der von Hensel angegebenen unteren Grenze die Konvergenz des Verfahrens schon sichergestellt ist.
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Full Text: Crelle EuDML