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Bemerkungen zur Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung. (German) JFM 49.0214.01

Verf. gibt eine neue Herleitung der Weierstraßschen Produktzerlegung einer ganzen Funktion \(F(x)\) von endlicher Wachstumsordnung \(q\). Sie beruht auf einer von ihm und seinem Bruder systematisch benutzten Synthese der Poissonschen und Jensenschen Integralformel. Wenn \(a_1, a_2,\dots, a_n, \dots\) die nach wachsenden Betragen geordneten Nullstellen von \(F(x)\) sind und \(a_1 \neq 0\), so gilt für \(|x| < \varrho\) \[ \log F(x) = - \sum_{|a_\nu| < \varrho} \log \frac{\varrho^2 - x \bar{a}_\nu}{\varrho(x - a_\nu)} + \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\log |F(\varrho e^{i\theta})| \frac{\varrho e^{i \theta} + x}{\varrho e^{i \theta} - x}\,d\theta + iC, \] wo \(C\) eine reelle Konstante ist. Hieraus folgt durch \((q + 1)\)-malige Differentiation und Grenzübergang \(\varrho \to \infty\), unter Beachtung der leicht beweisbaren Grenzwertgleichung \[ \varrho^{-q -1} \int_0^{2\pi} \left| \log |F(\varrho e^{i\theta})| \right| \,d\theta \to0 \quad (\varrho \to \infty), \] die folgende, in der ganzen \(x\)-Ebene konvergente Partialbruchentwicklung: \[ \frac{d^{q+1}}{dx^{q+1}} \log F(x) = \sum_{\nu = 1}^{\infty} \frac{(-1)^q q!}{(x - a_\nu)^{q+1}}. \] Nach \((q + 1)\)-maliger Integration erhält man hieraus die gesuchte Darstellung von \(F(x)\).

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