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Über die Randwerte einer analytischen Funktion. (German) JFM 49.0225.01

Nach Hardy (Lond. M. S. Proc. (2) 14 (1915), 269-277) ist der Mittelwert \[ \mu_\delta(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(re^{i\vartheta})|^\delta \,d\vartheta, \quad r < 1 \] für eine im Einheitskreise reguläre Funktion \(f(z)\) und bei \(\delta > 0\) eine monoton wachsende Funktion von \(r\). Eine Funktion \(f(z)\), für die \(\mu_\delta(r)\) beschränkt bleibt bei \(r\to 1\), heiße “zur Klasse \(H_\delta\) gehörend”. Für solche Funktionen beweist nun der Verf. den “Zerlegungssatz”, der die Existenz von zwei für \(|z| < 1\) regulären Funktionen \(g(z)\) und \(h(z)\) aussagt, die die Eigenschaften haben: \(f(z) = g(z) . h(z)\), \(h(z)\) beschränk für \(|z| < 1\) und \(g(z)\) nullstellenfrei für \(|z| < 1\) und zur Klasse \(H_\delta\) gehörend. Im Beweise wird übrigens \(h(z)\) in der Form eines Produktes gewährt, das schon von Blaschke (Leipz. Ber. 67 (1915), 194-200) betrachtet worden ist. Dieser Zerlegungssatz erlaubt es nun, den Fall eines beliebigen \(\delta > 0\) auf \(\delta = 2\) zurückzuführen. Dadurch gelangt man, in Erweiterung eines Fatouschen Satzes, zu dem Ergebnis, daß jede Funktion \(f(z)\) einer Klasse \(H_\delta\) bei radialer Annäherung an den Einheitskreis fast überall Randwerte \(f(e^{i\vartheta})\) besitzt, und , in Erweiterung eines Szegöschen Satzes, daß \(\log |f(e^{i\vartheta})|\) integrierbar ist. Ferner gilt sogar \[ \int_0^{2\pi} |f(e^{i\vartheta}) - f(re^{i\vartheta})|^\delta \,d\vartheta \to 0 \text{ fur } r\to 1. \]

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