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Über eine Klasse meromorpher Funktionen. (German) JFM 50.0222.02

Eine neue sehr schöne Anwendung der vom Verf. und seinem Bruder systematisch ausgebauten Theorie der Jensen-Poissonschen Integralformel. Es handelt sich hier um die Frage, wann eine in einem zusammenhängenden Gebiete \(G^*\) eindeutige meromorphe Funktion \(f(x)\) sich dort als Quotient von zwei beschränkten Funktionen darstellen läßt. Man bildet zu diesem Zwecke für jedes Gebiet \(G\), das samt seinem aus endlich vielen analytischen Kurvenstücken zusammengesetzten Rand \(\Gamma\) in \(G^*\) liegt, den folgenden Ausdruck: \[ T_G(x_1f)=\frac{1}{2\pi} \int_\Gamma \overset{+} {\log} | f(\xi)| \frac{\partial g(\xi,x)}{\partial n} ds+\sum_G g(x,b_\nu), \] wo \(g(x,z)\) die Greensche Funktion des Gebietes \(G\) mit ihrem Pol in \(x = z\) bezeichnet und die Summe auf der rechten Seite über sämtliche Pole von \(f(x)\) zu erstrecken ist (\(x\) möge kein Pol sein). Er stellt in \(G\) eine nichtnegative harmonische Funktion dar, die mehrere interessante Eigenschaften besitzt. Die fragliche notwendige und hinreichende Bedingung lautet nun einfach so, daßes einen Punkt in \(G^*\) gibt, wo die Folge \(T_{G_n}(x,f)\) \((n = 1, 2, 3,\dots)\) beschränkt bleibt. Hierbei bedeutet \(G_1,G_2,G_3,\dots\) eine Folge von ineinander geschachtelten Gebieten mit ähnlich beschaffenem Rand wie oben \(G\), welche ganz in \(G^*\) liegen und \(G^*\) ausschöpfen. (Es zeigt sich übrigens, daßaus der Beschränktheit der Folge \(T_{G_n}(x, f)\) in einem einzigen Punkte \(x\) ihre gleichmäßige Konvergenz in jedem inneren Gebiete gegen eine harmonische Funktion \(T(x,f)\) folgt.)
Für den Fall, wo \(G\) der Kreis \(| x| <R\) ist, liefert die vorige Bedingung nach einer leichten Umformung das folgende Kriterium für die Darstellbarkeit von \(f(x)\) als Quotient von zwei beschränkten Funktionen: Der Ausdruck \[ T(r)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \overset{+} {\log} | f(re^{i \varphi})| d \varphi + \int_0^r \frac{n(t)}{t} dt, \] wobei \(n(t)\) die Anzahl der Pole von \(f(x)\) für \(| x| <t\) bedeutet, ist beschränkt für \(r<R\). (Hierbei ist \(f(x)\) für \(x = 0\) als endlich vorausgesetzt.) \(T(r)\) ist übrigens eine wachsende, konvexe Funktion von \(\log r\). Die Beschränktheit des zweiten Gliedes ist ferner mit der Konvergenz der Reihe \(\sum(R-| b_\nu| )\) gleichwertig, wobei \(b_\nu\) die Pole von \(f(x)\) durchläuft.

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References:

[1] F. Nevanlinna und R. Nevanlinna, Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie, Acta Soc. Sc. Fennicae,50 (1922), N. 5. · JFM 48.0358.05
[2] A. Ostrowski, Über die Bedeutung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie, Acta litt. ac scient. regiae univ. hung. Francisco-Josephinae1 (1923), f. 2 S. 1-8. · JFM 49.0713.01
[3] Vgl. die in der Fußnote. zitierte Arbeit von F. und R. Nevanlinna, insbesondere S. 7.
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