Sur la théorie riemannienne des séries trigonométriques. (French) JFM 51.0219.04

Zygmund, A.

M. Z. 24, 47-104 (1925).

Diese umfassende und reichhaltige Arbeit setzt sich zum Ziel, die Riemannsche Theorie der trigonometrischen Reihen einheitlich und in einer leichter verallgemeinerungsfähigen Form aufzubauen. Der neue methodische Gedanke, der dies ermöglicht, rührt von Rajchman her und ist von diesem schon in mehreren Noten der vorangehenden Jahre, z. T. mit Beweisskizzen, veröffentlicht worden; er findet sich auch in der nachfolgend besprochenen Arbeit dargestellt. Er besteht in der konsequenten Benutzung der von diesem als “formelle Multiplikation der trigonometrischen Reihen” bezeichneten und implizit schon in der klassischen Arbeit von Riemann methodisch verwerteten Operation, mit deren Hilfe es in der vorliegenden Arbeit gelingt, nicht nur die Riemannschen Sätze einheitlich zu beweisen, sondern zugleich eine große Reihe weiterer Probleme (Eindeutigkeitsmengen, Konvergenzbesonderheiten usw.) zu bewältigen, die mit der ursprünglichen Riemannschen Methode nicht angegriffen werden konnten.
Sind \(\displaystyle \frac {a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } (a_n\cos nx + b_n\sin nx)\) und \(\displaystyle \frac {\alpha _0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } (\alpha _n\cos nx + \beta _n\sin nx)\) zwei beliebige trigonometrische Reihen, so führt die komplexe Schreibweise \[ \frac {1}{2} \sum _{-\infty }^{+\infty } (a_n-ib_n)\,e^{inx} \text{\;\;\;und\;\;\;} \frac {1}{2} \sum _{-\infty }^{+\infty } (\alpha _n-i\beta _n)\,e^{inx} \] für diese dazu, die trigonometrische Reihe \(\displaystyle \frac {1}{2}A_0+\sum _{n=1}^{\infty } (A_n\cos nx + B_n\sin nx)\) als “formelles Produkt” der ersten beiden zu erklären, wenn die \(A_n\) und \(B_n\) durch \[ A_n-iB_n=\frac {1}{2} \sum _{\nu =-\infty }^{+\infty } (a_\nu-ib_\nu) (\alpha _{n-\nu}-i\beta _{n-\nu}) \] definiert sind (unter der Annahme, daß diese letzte Reihe für jedes \(n\) konvergiert).
Im 2. Kapitel werden dann Sätze von folgendem Typus bewiesen:
1. Wenn die Koeffizienten der ersten Reihe gegen \(0\) streben, die der zweiten O\((n^{-3})\) sind und wenn diese zweite Reihe für alle \(x\) einer Menge \(E\) die Summe \(0\) hat, so konvergiert die Produktreihe gleichmäßig auf \(E\) zur Summe \(0\).
2. Bezeichnet man unter den gleichen Voraussetzungen wie eben die Summe der zweiten Reihe mit \(\sigma (x)\), so ist die (gliedweise) Differenz der Produktreihe und der mit \(\sigma (x)\) multiplizierten ersten Reihe in jedem Intervall gleichmäßig konvergent zur Summe \(0\). – Ähnliche Sätze gelten für die zur Produktreihe konjugierte Reihe.
Im 3. Kapitel werden die Sätze des zweiten dadurch erweitert, daß für die Koeffizienten der Faktorreihen nur Bedingungen der Form o\((n^{\gamma })\) oder O\((n^{\gamma })\) gestellt werden und daß \(C\)-Summierbarkeit an Stelle der Konvergenz betrachtet wird. – Das 4. Kapitel bringt entsprechende Sätze über die aus der Produktreihe durch gliedweise Differentiation entstehenden Reihen.
Im 5. und 6. Kapitel endlich wird gezeigt, wie alle diese Sätze nun verwertet werden können, um methodisch einheitlich die Riemannschen Lokalisationssätze und deren Verallgemeinerungen, ferner die schönen Sätze von Fatou und deren Verallgemeinerungen von M. Riesz sowie zahlreiche weitere Sätze der neueren Theorie der Fourierreihen zu beweisen bzw. über sie hinauszugehen.

Reviewer: Knopp. K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

References:

[1]	Cf. A. Rajchman, O Riemannowskiej zasadzie umiejscowienia (Sur le principe de localisation de Riemann). Comptes Rendus de la Soc. Scientif. de Varsovie11 (1918), fascic. 2, pp. 115-152.
[2]	Cf. A. Rajchman,, p. 120.
[3]	Cf. A. Rajchman, p. 128. L’?nonc?, donn? ici, de ce th?or?me et des th?or?mes III et III? ne diff?re pas essentiellement de l’?nonc? donn? par M. Rajchman.
[4]	Cf. une remarque de A. Rajchman,, p. 135.
[5]	A. Rajchman,, p. 135.
[6]	Al. Rajchman l. c.
[7]	Les th?or?mes analogues aux th?or?mes I et II subsistent aussi dans le cas: ?<?1. Mais nous nous bornons au cas ?>?1, car, d’apr?s un th?or?me enonc? par M. Chapman, Proc. London Math. Society9 (1911), p. 406 ? toute s?rie 69-1 est sommable (C, ?) pourvu que l’on aitu n =o(n ? ) (?<?1, ???2, ?3, ...).
[8]	Toute s?rie convergente ?u n ? coefficientsO(1/n) est sommable (C, ?1+?) (?>0). Il en est de m?me pour les suitess n convergentes pourvu que l’on aitS n ?S n?1=O(1/n). Cf. Hardy and Littlewood, Proc. Lond. Math. Soc.2 (1911), p. 462.
[9]	St. Mazurkiewicz, ?Sur les s?ries de puissances et les s?ries trigonom?triques non sommables? (en polonais, avec un r?sum? en fran?ais), Prace Mat. Fiz.28, (1917), pp. 109-118.