Sur le théorème de MM. Fischer et Fr. Riesz sur la convergence en moyenne. (French) JFM 51.0227.02

Lévy, P.

Bulletin sc. Math. (2) 49, 344-352 (1925); 49, 374-380 (1925).

Im Anschluß an einen Vortrag von Noaillon im Hadamardschen Seminar bringt Verf. einen neuen Beweis des Riesz-Fischerschen Satzes. Dieser Beweis fußt auf Ideen von Weyl und Egoroff und zeigt mancherlei Berührungspunkte mit dem von Plancherel gegebenen Beweis (1923; F. d. M. 49, 190 (JFM 49.0190.*)).
Am Anfang wird der bekannte Satz von Fréchet über die Darstellung eines linearen Funktionals bewiesen und daraus der Riesz-Fischersche Satz abgeleitet. Umgekehrt wird weiter gezeigt, daß sich der Satz von Fréchet aus diesem leicht ableiten läßt, und daß der Riesz-Fischersche Satz durch Benutzung des von Weyl und Egoroff eingeführten Begriffs der “convergence en mesure” direkt beweisbar ist.
Am Schluß wird folgende, von Noaillon gegebene Verallgemeinerung bewiesen: \(\omega (r)\) sei eine stetige gerade Funktion, \(\omega (0)=0\), \(\omega (r)\) wachse mit \(|r|\). Unter Entfernung von \(f(x)\), \(g(x)\) werde die Größe \(r\) verstanden, für welche \[ \omega (r) = \int _0^1\omega [f(x)-g(x)]\,dx \] ist. Ist dann \(f_n(x)\), \(n=1,2,\ldots \) irgend eine Folge meßbarer Funktionen mit der Eigenschaft: \(\displaystyle \int _0^1\omega (f_m-f_n)\,dx \to 0\), für \(m, n \to \infty \), so gibt es eine meßbare Funktion \(f(x)\) mit der Eigenschaft: \(\displaystyle \int _0^1\omega (f-f_n)\,dx \to 0\) für \(n \to \infty \).
Umgekehrt, wenn \(\omega (r)\) die weitere Voraussetzung \(\omega (2r)\leqq k\omega (r)\), \(k=\) const. erfüllt, folgt aus \(\displaystyle \int _0^1\omega (f-f_n)\,dx \to 0\), \(n \to \infty \), die Formel \(\displaystyle \int _0^1\omega (f_n-f_m)\,dx \to 0\), \(m, n \to \infty \).
Die älteren Resultate von Riesz, Fischer, Plancherel sind hierin für \(\omega (r)=r^\alpha \), \(\alpha >0\), enthalten. (IV 7.)

Reviewer: Plancherel, M., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 49.0190.*