On the representation of functions by trigonometrical integrals. (English) JFM 51.0228.06

Wiener, N.

M. Z. 24, 575-616 (1925).

Das Ziel dieser umfangreichen und weitausladenden Arbeit ist es, die Darstellung verschiedener Klassen von Funktionen durch trigonometrische Reihen oder Integrale auf eine einheitliche Form zu bringen, – nämlich die der rein-periodischen Funktionen durch Fourierreihen, die der über \(-\infty\cdots +\infty\) nebst ihrem Quadrat integrierbaren Funktionen durch Fourierintegrale und die der Bohrschen fast-periodischen Funktionen durch dessen verallgemeinerte Fourierreihen.
Verf. kommt dabei auf eine Klasse von Funktionen, die er “pseudo-periodisch” nennt, und auf deren Darstellung in der Form \[ \int_0^{\infty} [\cos \alpha x d\gamma(\alpha) + \sin \alpha x d\delta (\alpha)], \] die die vorhin genannten drei Klassen und ihre Darstellung als Spezialfall enthalten.
Die Ergebnisse sind dann in 22 Sätzen niedergelegt, die in der Einleitung vollständig formuliert sind. Doch sind sie nicht verständlich ohne die vorausgeschickten 8 besonderen Definitionen. Es kann hier nur einiges davon wiedergegeben werden, um die Richtung anzudeuten, in der die Untersuchungen sich bewegen.
An Definitionen sei hervorgehoben:
1. \(f(x)\) heiße “fast beschränkt”, wenn bei festem \(h\int_{\xi}^{\xi+h} ((f(x))^2 dx\) für alle \(\xi\) beschränkt ist.
2. \(\varphi(x,y)\) konvergiert für \(y\to\infty\) in \((a,b)\) “fast im Mittel” gegen \(f(x)\), wenn \[ \lim_{\xi\to\infty}\int_{\xi}^{\xi+h} dy\int_a^b [\varphi(x,y)-f(x)]^2dx=0. \]
3. \(\operatornamewithlimits{\text{}Q}\)

Reviewer: Knopp. K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 51.0214.*

References:

[1]	This theorem may be deduced without difficulty from one proved by M. Plancherel,Contribution ? l’?tude da la repr?sentation d’une fonction arbitraire par des int?grales d?finies, Rendiconti di Palermo 30 (1910), p. 330.
[2]	H. Bohr,Zur Theorie der fast periodischen Funktionen. I.Eine Verallgemeinerung der Fourierreihen.Acta Mathematica 45 (1924), pp. 29-127. Cf. W. L. Hart,On trigonometric series, Annals of Mathematics (2),18 (1916), pp. 99-104. · JFM 50.0196.01
[3]	Cf. H. Hahn:?ber Fouriersche Reihen und Integrale, Bericht ?ber die Jahres-(versammlung zu Innsbruck, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung,33 1925), S. 107.