On the representation of functions by trigonometrical integrals. (English) JFM 51.0228.06

Wiener, N.

M. Z. 24, 575-616 (1925).

Das Ziel dieser umfangreichen und weitausladenden Arbeit ist es, die Darstellung verschiedener Klassen von Funktionen durch trigonometrische Reihen oder Integrale auf eine einheitliche Form zu bringen, – nämlich die der rein-periodischen Funktionen durch Fourierreihen, die der über \(-\infty\cdots +\infty\) nebst ihrem Quadrat integrierbaren Funktionen durch Fourierintegrale und die der Bohrschen fast-periodischen Funktionen durch dessen verallgemeinerte Fourierreihen.
Verf. kommt dabei auf eine Klasse von Funktionen, die er “pseudo-periodisch” nennt, und auf deren Darstellung in der Form \[ \int_0^{\infty} [\cos \alpha x d\gamma(\alpha) + \sin \alpha x d\delta (\alpha)], \] die die vorhin genannten drei Klassen und ihre Darstellung als Spezialfall enthalten.
Die Ergebnisse sind dann in 22 Sätzen niedergelegt, die in der Einleitung vollständig formuliert sind. Doch sind sie nicht verständlich ohne die vorausgeschickten 8 besonderen Definitionen. Es kann hier nur einiges davon wiedergegeben werden, um die Richtung anzudeuten, in der die Untersuchungen sich bewegen.
An Definitionen sei hervorgehoben:

1.

\(f(x)\) heiße “fast beschränkt”, wenn bei festem \(h\int_{\xi}^{\xi+h} ((f(x))^2 dx\) für alle \(\xi\) beschränkt ist.

2.

\(\varphi(x,y)\) konvergiert für \(y\to\infty\) in \((a,b)\) “fast im Mittel” gegen \(f(x)\), wenn \[ \lim_{\xi\to\infty}\int_{\xi}^{\xi+h} dy\int_a^b [\varphi(x,y)-f(x)]^2dx=0. \]

3.

\(\mathop{Q}\limits_a^b(f(x))=\lim\limits_{h\to0}\frac 1{2h} \int_a^b[f(x+h)-f(x-h)]^2dx\), – falls vorhanden.

7.

\(\int_0^A\varphi(x)d\psi(x) = \varphi(A)\psi(A)-\int_0^A \psi(x)\cdot \varphi'(x)dx.\)

8.

Ist \(f(x)\) und \(f^2\) integrierbar, so soll \(\tau\) eine zu \(\varepsilon\) gehörige Verschiebungszahl heißen, wenn für alle \(\xi\) \[ \int_{\xi}^{\xi+1}[f(x+\tau)-f(x)]^2 dx\leqq \varepsilon. \] Und \(f(x)\) soll nun pseudo-periodisch heißen, wenn zu jedem \(\varepsilon\) ein \(l\) gehört, so daß in jedem Intervall der Länge \(l\) mindestens eine Verschiebungszahl liegt.

Dann gelten u. a. die Sätze:

1.

Wenn \(f(x)\) fast beschränkt ist, so sind die Integrale \[ \frac1\pi\int_{-T}^{+T}f(\lambda)\frac{\sin\alpha\lambda}{\lambda}d\lambda \quad \text{und}\quad \frac1\pi\int_{-T}^{+T} f(\lambda)\frac{e^{-\lambda^2}-\cos\alpha\lambda}{\lambda}d\lambda \] für \(T\to\infty\) über jedes beschränkte \(\alpha\)-Intervall im Mittel konvergent und definieren also zwei Funktionen \(\gamma(\alpha)\) und \(\delta(\alpha)\).

2.

Mit diesen Funktionen gilt umgekehrt, daß in jedem endlichen \(x\)-Intervall für \(T\to\infty\) “fast im Mittel” \[ \int_0^T[\cos\alpha x d\gamma(\alpha)+ \sin\alpha x d\delta(\alpha)]\to f(x) \] konvergiert. – Aus diesen ergibt sich der besonders hervorzuhebende Satz:

3.

Wenn \(f(x)\) fast beschränkt ist und \(\gamma(\alpha)\) und \(\delta(\alpha)\) gemäß 1. definiert sind, wenn ferner der Mittelwert \(\mathfrak{M}(f(x))^2\) existiert, so existieren auch die Grenzwerte \[ \mathop{Q}\limits_{-\infty}^{+\infty}(\gamma(\alpha)) \quad \text{und} \quad \mathop{Q}\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta(\alpha)) \] und ihre Summe ist \(= 2\mathfrak{M} (f(x))^2\).

Als Endergebnis wird dann schließlich ein Satz erhalten, der als Verallgemeinerung des Riesz-Fischerschen Theorems angesprochen werden kann:

22.

Sind \(\gamma(\alpha)\) und \(\delta(\alpha)\) für \(\alpha\geqq 0\) definiert und \(=0\) für \(\alpha = 0\), sind sie ferner in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung und nehmen sie nur eine abzählbare Menge von Werten an, ist endlich \[ \sum_0^{\infty}\left\{\left[ \int_n^{n+1}|d\gamma(\alpha)|\right]^2+ \left[\int_n^{n+1}|d\delta(\alpha)|\right]^2\right\} \] konvergent, dann ist \[ \int_0^T [\cos\alpha xd\gamma(\alpha)+ \sin\alpha x d\delta(\alpha)] \] für \(T\to\infty\) im Mittel konvergent und definiert eine pseudo-periodische Funktion.

Ob die Bedingung der Pseudoperiodizität notwendig und hinreichend ist, hat Verf. nicht feststellen können. Eine teilweise Erledigung dieses Punktes geben die in F. d. M. 51, 214 (JFM 51.0214.*) besprochenen Arbeiten von Stepanoff und Besikovitsch.
In einem Anhang, der während der Korrektur auf Veranlassung von R. Courant angefügt worden ist, skizziert Verf., wie aus semen Sätzen einige der Bohrschen Sätze sich herleiten lassen.

Reviewer: Knopp. K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 51.0214.*

References:

[1]	This theorem may be deduced without difficulty from one proved by M. Plancherel,Contribution ? l’?tude da la repr?sentation d’une fonction arbitraire par des int?grales d?finies, Rendiconti di Palermo 30 (1910), p. 330.
[2]	H. Bohr,Zur Theorie der fast periodischen Funktionen. I.Eine Verallgemeinerung der Fourierreihen.Acta Mathematica 45 (1924), pp. 29-127. Cf. W. L. Hart,On trigonometric series, Annals of Mathematics (2),18 (1916), pp. 99-104. · JFM 50.0196.01 · doi:10.1007/BF02395468
[3]	Cf. H. Hahn:?ber Fouriersche Reihen und Integrale, Bericht ?ber die Jahres-(versammlung zu Innsbruck, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung,33 1925), S. 107.