Über Folgen analytischer Funktionen und einige Verschärfungen des Picardschen Satzes. (German) JFM 51.0260.01

Ostrowski, A.

M. Z. 24, 215-258 (1925).

G. Julia hat zuerst die Frage nach der Verteilung derjenigen Stellen in Angriff genommen, in denen eine gegebene meromorphe Funktion \(f(z)\) einem gegebenen Wert \(\alpha\) gleich wird. Bei dieser Untersuchung über die \(\alpha\)-Stellen spielen gewisse Kurven, die sogenannten Juliaschen Kurven, eine besondere Rolle. Eine Kurve \(z=\sigma(t)\) heißt dabei Juliasche Kurve, wenn die Funktionenschar \(f_t(z) =f(z\sigma(t))\) nicht normal ist. Insbesondere ist für Funktionen \(f(z)\), die einen Wert auslassen oder die einen asymptotischen Wert haben, jede ins Unendliche ziehende Kurve eine Juliasche Kurve. An Beispielen hat Julia gezeigt, daß es Funktionen ohne Juliasche Kurven gibt. Bei der Untersuchung der \(\alpha\)-Stellen spielen weiter gewisse Punktfolgen, die Juliaschen Folgen, eine Rolle. Eine Punktfolge \(\sigma_{\nu}\) heißt dabei eine Juliasche Folge, wenn die Funktionenschar \(f_{\nu}(z) = f(\sigma_{\nu}z)\) nicht normal ist. Solche Folgen treten stets dann auf, wenn \(f(z)\) einen asymptotischen Wert \(y\) hat.
Ostrowski zeigt, daß sich die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Juliasche Kurven auf die entsprechende Frage für Juliasche Folgen zurückführen läßt. Es ist nämlich für die Existenz einer \(J\)-Kurve die Existenz wenigstens einer \(J\)-Folge notwendig und hinreichend, und wenn es wenigstens eine \(J\)-Folge gibt, so ist jede Kurve, die ins Unendliche zieht, eine \(J\)-Kurve. Es kommt daher darauf an, alle meromorphen Funktionen zu finden, die keine \(J\)-Folgen haben. Solche Funktionen heißen Juliasche Ausnahmefunktionen. Ostrowski gibt sie in der vorliegenden Arbeit restlos an. Darnach sind die Juliaschen Ausnahmefunktionen darstellbar als Quotienten zweier ganzen Funktionen der Ordnung Null \[ dz^p\frac{\prod\left(1-\dfrac z{a_{\nu}}\right)} {\prod\left(1-\dfrac z{b_{\mu}}\right)}, \] deren Nullstellen den folgenden Bedingungen genügen:
In jedem Kreisring \(r<|z|< q r\) von fester Breite \(q\) liegt eine in \(r\) gleichmäßig beschränkte Zahl von Nullsteilen und Polen. Die Differenz zwischen der Anzahl der Nullstellen und Pole in einem jeden Kreis \(|z|\leqq r\) ist in \(r\) dem Betrag nach gleichmäßig beschränkt. Es muß weiter ein \(c>0\) geben, so daß durchweg \(\left|\dfrac{a_{\mu}}{b_{\mu}}-1\right|>c\) ist. Auf Grund dieser drei Bedingungen kann man der Größe der absoluten Beträge nach die \(a_{\mu}\), \(b_{\mu}\) auswählen. Dabei muß nur noch die folgende Bedingung erfüllt sein: Berechnet man \[ M(r) = \frac{r^p\prod\limits_{|a_{\nu}|\leqq r}\left(\dfrac{r}{|a_{\nu}|}\right)} {\prod\limits_{|b_{\nu}|\leqq r}\left(\dfrac{r}{|b_{\nu}|}\right)} \] für ein \(r = |a_{\mu}|\) oder ein \(r=|b_{\mu}|\), so dürfen, sobald \(M(r)\) größer als eine gewisse für \(f(z)\) feste Zahl \(c_1\) geworden ist, nur Pole hinzukommen, bis \(M(r)\leqq c_1\) wird. Solange aber \(M(r)\) kleiner als eine für \(f(z)\) feste Zahl \(c_2\) ist, kommen nur Nullstellen hinzu, bis \(M(r)\geqq c_2\) ist. Diese Bedingungen sind notwendig und hinreichend für Juliasche Ausnahmefunktionen. Erwähnt sei noch, daß Verf. die gleiche Untersuchung auch für diejenigen Funktionen durchführt, die nur im Äußeren eines gewissen Kreises meromorph sind.
Bei dieser Untersuchung ist Ostrowski genötigt, in einem Punkte die Theorie der normalen Funktionenscharen zu fördern. Man kann sich nämlich die Frage stellen, wann es in einer in einem Gebiet \(G\) nicht normalen Schar zu einem Punkt \(P\) von \(G\) eine Teilschar gibt, die in keiner Umgebung desselben gleichmäßig konvergente Teilfolgen enthält. Solche Punkte heißen Ausnahmepunkte. Es gibt stets Ausnahmepunkte. Ihre Menge ist abgeschlossen, und jeder \(J\)-Punkt ist ein Ausnahmepunkt. Die hierbei zum Vorschein kommenden Teilscharen ohne gleichmäßig konvergente Teilfolgen heißen Ausnahmefolgen. Eine Folge von Funktionen, die um \(P\) meromorph sind, ist dann und nur dann Ausnahmefolge in \(P\), wenn die Funktionen jeder Teilfolge in jeder Umgebung von \(P\) in ihrer Gesamtheit alle Werte mit höchstens zwei Ausnahmen annehmen.

Reviewer: Bieberbach, L., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.

References:

[1]

Man kommt auf den Ausdruck 219-1 ?brigens auch dann, wenn man ohne Benutzung der Jensenschen Formel die Untersuchung von vornherein f?r den Quotienten von zwei kanonischen Produkten der Ordnung 0 durchf?hrt; dieser Ausdruck tritt bei der Diskussion der kanonischen Produkte von der Ordnung 0 bereits in den Untersuchungen von Herrn Littlewood zum Wimanschen Satz auf. Die Art, wie die Jensensche Formel in unserer Untersuchung benutzt wird, unterscheidet sich wesentlich von den Anwendungen der Jensenschen Formel f?r einige Fragen der komplexen Funktionentheorie, Acta Szeged1 (1923), S. 80-87 gegeben haben, und die sich in einem Spezialfalle, worauf mich Herr F. Riesz aufmerksam gemacht hat, bereits in einer Arbeit von Herrn P. Fatou finden: Sur l’?vanouissement d’une branche de fonction uniforme aux points d’une ligne singuli?re, Bulletin d. Sc. Math. (2)45 (1921), S. 68-69.

[2]

P. Montel, Sur la repr?sentation conforme, J. d. M. p. e. a. (7)3 (1917), S. 1-54, insbesondere S. 25. Vgl. andererseits: Auszug aus einem Briefe von A. Ostrowski an L. Bieberbach, Jahresber. d. D. M. V.31 (1922), S. 85; A. Ostrowski, ?ber die Bedeutung der Jensenschen Formel f?r einige Fragen der komplexen Funktionentheorie, Acta Szeged1 (1923), S. 80-87.