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De certaines équations aux dérivées partielles du second ordre intégrables par la méthode de Darboux. (French) JFM 51.0353.01

Im ersten Teile der Arbeit fragt Verf. nach solchen Gleichungen von der Form \[ s+ f (x, y, z, p, q, r) = 0, \] die für das System der Charakteristiken mit der Invariante \(y\) eine Invariante zweiter Ordnung besitzen und für das andre System der Charakteristiken zwei Invarianten zweiter Ordnung. Ist \(f_{rq} = 0\), so kommt er auf drei Klassen von Gleichungen, von denen aber nur die beiden ersten wirklich Gleichungen enthalten, die die gestellten Forderungen erfüllen. Ist \(f_{rq}\neq 0\), so sind zwei Fälle zu unterscheiden, die vollständig erledigt werden. Im zweiten Teile beweist Verf. einen allgemeinen Satz über Gleichungen \( s = f (x, y, z, p, q)\) mit einer Involution von höherer als zweiter Ordnung, der von Goursat (1899; F. d. M. 30, 325) und von Gau (1911; F. d. M. 42, 389 (JFM 42.0389.*)) nur unter gewissen Beschränkungen bewiesen war. Aus den notwendigen Bedingungen, die dieser Satz liefert, erschließt er, daß, falls \(f\) in bezug auf \(p\) linear ist, nicht aber in bezug auf \(q\), eine Involution von höherer als zweiter Ordnung des Systems \(dy = 0\) nur vorhanden sein kann, wenn ein Zwischenintegral erster Ordnung des Systems \(dx = 0\) auftritt. Endlich bestimmt er alle Gleichungen der betreffenden Form, die ein Zwischenintegral erster Ordnung besitzen und die im Sinne von Gau von der ersten Klasse sind. Er findet die beiden Typen \(s = f (x, y, q)\) und \(s = p\;\theta (y, z, q)\), die er genau untersucht. Über eine Berichtigung durch E. Lainé siehe F. d. M. 53, 447 (JFM 53.0447.*).
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Full Text: DOI Numdam EuDML