Brinkmann, H. W. Einstein spaces which are mapped conformally on each other. (English) JFM 51.0568.03 Math. Ann. 94, 119-145 (1925). Ein \(n\)-dimensionaler Riemannscher Raum \(V_n\) mit definitem oder indefinitem Quadrat des Bogenelementes heißt ein Einsteinscher Raum, wenn \[ R_{ij}=\frac 1n R{\mathfrak g}_{ij} \;\;(i,j = 1, 2, \ldots, n), \] wo \({\mathfrak g}_{ij}\) die Komponenten des metrischen Fundamentaltensors, \(R_{ij}\) die des verjüngten Riemannschen Tensors und \(R\) die skalare Krümmung der \(V_n\) bedeuten. Von Interesse ist nur der Fall \(n \geqq 4\), da jede \(V_2\) ein Einsteinscher Raum ist und für \(n = 3\) jeder Einsteinsche Raum sphärisch (d. h. isometrisch zu einer Hypersphäre im \((n+1)\)-dimensionalen euklidischen Raum, wenn \(R\neq 0\), und euklidisch, wenn \(R = 0\)) ist. Verf. behandelt für diesen Fall, in dem \(R\) notwendig konstant ist, die folgenden Fragen: Wann kann ein Einsteinscher Raum \(V_n\) auf einen (möglicherweise verschiedenen) Einsteinschen Raum \(V_n\) konform abgebildet werden, und auf wie viele Arten ist das möglich? Wann kann ein Einsteinscher Raum insbesondere auf sich selbst konform abgebildet werden? Dabei wird vorausgesetzt, daß die Abbildung nicht-trivial ist, d. h. daß die quadrierten Bogenelemente von \(V_n\) und \(\overline V_n\) durch \(d\overline{s}^2 = \mu\,ds^2\) mit nicht-konstantem \(\mu\) verbunden sind, und es wird eine eigentliche oder uneigentliche konforme Abbildung unterschieden, je nachdem \(\varDelta_1\mu=\sum\limits_{i,j}{\mathfrak g}^{ij}\dfrac {\partial \mu}{\partial x^i}\dfrac {\partial \mu}{\partial x^j}\) nicht (identisch) verschwindet oder identisch Null ist. Der zweite Fall kann nur eintreten, wenn beide Einsteinsche Räume die skalare Krümmung Null haben. Es werden zunächst alle Einsteinschen Räume bestimmt, die eigentlich konform auf Einsteinsche Räume abbildbar sind, und sodann untersucht, auf wieviele verschiedene Arten eine eigentlich- oder uneigentlich-konforme Abbildung dieser Räume möglich ist. Sodann wird die entsprechende Untersuchung für den Fall der uneigentlich-konformen Abbildung geführt. Dieser Fall ist für die Relativitätstheorie allein von Interesse, weil jeder Einsteinsche \(V_4\), der auf einen anderen Einsteinschen \(V_4\) eigentlich konform abgebildet werden kann, sphärisch ist. Dementsprechend gibt Verf. eine erschöpfende Behandlung des Falles \(n=4\). Die Wiedergabe des sehr einfachen Ergebnisses würde indes zu weit führen. Reviewer: Berwald, L., Prof. (Prag) Cited in 5 ReviewsCited in 212 Documents JFM Section:Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen. × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI EuDML