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Einige Eindeutigkeitssätze in der Theorie der meromorphen Funktionen. (German) JFM 52.0323.03

Mit den Begriffen und Hilfsmitteln seiner allgemeinen Theorie der meromorphen Funktionen (1925; F. d. M. 51, 254 (JFM 51.0254.*)) beweist Verf. einige Sätze über die eindeutige Bestimmtheit einer meromorphen Funktion \(f(x)\) durch die Wurzeln der Gleichungen \(f(x) = z\) für verschiedene Werte \(z\).
Das einfachste Ergebnis ist: Nehmen zwei meromorphe Funktionen fünf verschiedene Werte je an denselben Stellen an (wobei nicht gleiche Vielfachheit vorausgesetzt zu werden braucht), so sind sie identisch.
Dieser Satz ist nur ein einfaches Korrolar zu einem andern, dessen Inhalt sich etwa so wiedergeben läßt: Wenn zwei verschiedene meromorphe Funktionen \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\) vier verschiedene Werte \(z\) je an denselben Stellen annehmen (wobei wieder nicht gleiche Vielfachheit vorausgesetzt ist), so stimmen ihre charakteristischen Funktionen \(T (r, f_1)\), \(T (r, f_2)\) asymptotisch überein; alle andern Werte \(z\) sind für beide Funktionen Werte von normaler Dichte und für höchstens endlich viele Stellen \(x\) den beiden Funktionen gemeinsam; dagegen nehmen die vier gemeinsamen Werte die volle Summe 2 für Defekt und Verzweigungsindex für sich in Anspruch. (Im Falle unendlicher Ordnung von \(f_1\) und \(f_2\) wäre etwas anders zu formulieren.) (Für die hier gebrauchten Begriffe und Bezeichnungen vgl. F. d. M. 51, 254 (JFM 51.0254.*); \(55_{\text{II}}\), 773.)
Ist \(N_1 (r, z)\) die Dichtefunktion der \(z\)-Stellen von \(f_1\), die nicht auch \(z\)-Stellen von \(f_2\) sind (wobei jede \(z\)-Stelle ohne Rücksicht auf ihre Vielfachheit einmal gezählt ist), und hat \(N_2 (r, z)\) die entsprechende Bedeutung für \(f_2\), so läßt sich die relative Dichte der gemeinsamen \(z\)-Stellen durch folgende Größe charakterisieren: \[ \lambda(z)=1-\lim\limits_{r\to\infty}\operatorname{sup}\dfrac{N_1(r,z)+N_2(r,z)} {T(r,f_1)+T(r,f_2)} \] (für die nach dem ersten Hauptsatz \(0 \leqq \lambda (z) \leqq 1\) gilt); es wird die Ungleichung bewiesen \[ \varSigma \lambda (z)\leqq4, \] wobei die Summe über beliebige \(z\)-Werte zu erstrecken ist.
In §2 wird ein Satz von Pólya über ganze Funktionen auf meromorphe verallgemeinert (1921; F. d. M. 48, 354 (JFM 48.0354.*)). Der Beweis beruht auf einer Borelschen Verallgemeinerung des Picardschen Satzes (1896; F. d. M. 27, 321 (JFM 27.0321.*)), für die Verf. hier einen Beweis im Rahmen seiner allgemeinen Theorie gibt.
In §3 folgen Sätze über meromorphe Funktionen, die drei Werte in denselben Punkten mit gleicher Vielfachheit annehmen; z. B. ergibt sich, daß zwei derartige Funktionen, wenn sie von endlicher, nicht ganzzahliger Ordnung sind, identisch sind.
Schließlich werden Verallgemeinerungen auf Funktionen angedeutet, die in einem Kreise meromorph sind.

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References:

[1] Diese Ausdrucksweise benutzen wir im folgenden auch dann, wenn die Funktionen den betreffenden Wertz überhaupt nicht annehmen, was nach dem Picardschen Satz höelistens fürzwei Wertez möglich ist.
[2] G. Pólya:Bestimmung einer ganzen Funktion endlichen Geschlechts durch viererlei Stellen (Matematisk Tidsskrift B, København 1921, p. 16–21. · JFM 48.0354.03
[3] In der folgenden Überlegung denken wir uns diese Intervalle ausgeschlossen.
[4] c. S. 23. Wennf{\(\mu\)} in der Umgebung von x=regulär ist, so ist diese Bedingung damit gleichbedeutend, dass \(\mathop {\overline {\lim } }\limits_{r \to \infty } \frac{{\log \log M(r,f_\mu )}}{{\log r}}\) endlich ist, wobeiM(r,f{\(\mu\)}), den Maximalmodul vonf{\(\mu\)} bezeichnet.
[5] In der folgenden Überlegung denken wir uns diese Intervalle ausgeschlossen. l. c.
[6] Dieser Satz gilt auch dann, wenn die Funktionenf 1 undf 2 die vorausgesetzten Eigenschaften nur in einer gewissen Umgebung des wesentlich singulären Unendlichkeitspunktes besitzen. Um ihn in dieser allgemeineren Fassung zu beweisen, hat man in dem nachfolgenden Beweis einige Modifikationen vorzunehmen.
[7] Dieser Satz ist zuerst vonBorel gegeben worden (Vgl.Borel:Sur les zéros des fonctions entières, Acta math., B. XX, 1897). Fürn=3 ist er mit dem speziellen Picardschen Satz gleichbedeutend.
[8] In der Tat istm(e, {\(\psi\)} 1 {\(\psi\)} 2)(r, {\(\psi\)} 1)+m(r, {\(\psi\)} 2),m(r, {\(\psi\)} 1+{\(\psi\)} 2)(e, {\(\psi\)} 1)+m(e, {\(\psi\)} 2)+log 2,N(r, {\(\psi\)} 1 {\(\psi\)} 2)(r, {\(\psi\)} 1)+N(r, {\(\psi\)} 2),N(r, {\(\psi\)} 1+{\(\psi\)} 2)(r,{\(\psi\)} 1)+N(r, {\(\psi\)} 2), und also nach dem Hauptsatz I:T(r, {\(\psi\)} 1,{\(\psi\)} 2)(r, {\(\psi\)} 1)+T(r, {\(\psi\)} 2)+O(logr),T(r, {\(\psi\)} 1+{\(\psi\)} 2)(r, {\(\psi\)} 1)+T(r, {\(\psi\)} 2)+O(logr) Ferner ist, ebenfalls nach dem Hauptsatz I, \(T(r,\psi ) = T\left( {r,\frac{I}{\psi }} \right) + O(\log r)\) . Aus diesen Beziehungen geht hervor, dass die Ordnung durch rationale Operationen nicht erhöht werden kann.
[9] Über den Ordnungsbegriff vgl. meine Arbeit:Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum (Acta Soc. Sc. Fennicae, T. L., N:o 12, 1925).
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