Les groupes d’holonomie des espaces généralisés. (French) JFM 52.0723.01

Cartan, É.

Acta Math. 48, 1-42 (1926).

Für den Verf. ist eine kontinuierliche Transformationsgruppe \(\boldsymbol G\) (in \(n\) Variablen) die erste aller Voraussetzungen. Sie beherrsche ein Kontinuum und dessen Objekte, jedoch nicht ohne gewisse Eigenschaften dieser Objekte invariant zu lassen. So entsteht der Begriff eines Raumes von der Fundamentalgruppe \(\boldsymbol G\). Ein derartiger Raum \(E_A\) (stets von gleicher Fundamentalgruppe) sei einem zweiten Kontinuum \(\mathfrak E\) in jedem seiner Punkte \(A\) zugeordnet. \(E_A\) wird Tangentialraum von \(\mathfrak E\) im (gemeinsamen) Punkt \(A\) genannt, wenn in der Umgebung von \(A\) beide Kontinua bis auf infinitesimale Größen zweiter Ordnung identisch sind. Wird in \(\mathfrak E\) ein zweiter Punkt \(B\) angenommen (welcher nicht mit \(A\) zusammenfällt), so erscheinen längs eines Verbindungsweges der Punkte \(A\) und \(B\) im angegebenen Sinne kontinuierlich viele “Tangentialräume” zugeordnet, und dem Übergang von \(A\) nach \(B\) entspricht eine endliche Transformation der Gruppe \(\boldsymbol G\), erzeugt durch Integration der infinitesimalen Transformationen innerhalb der Grenzen \(A\) und \(B\). Hängt dabei das Integrationsresultat dieses Prozesses nur von den Grenzen, aber nicht von der Wahl des Verbindungsweges ab, so handelt es sich um einen holonomen Raum \(\mathfrak E\) von der Fundamentalgruppe \(\boldsymbol G\). Dies ist insbesondere der Fall, wenn die in Rede stehenden Räume sämtlich zusammenfallen – sofern ist \(E\) stets holonom von der Fundamentalgruppe \(\boldsymbol G\). Im holonomen und nur in diesem Falle entspricht einem geschlossenen Weg im Raum \(\mathfrak E\) die identische Transformation der Fundamentalgruppe. Ist dagegen das Resultat des Integrationsprozesses von der Wahl des Integrationsweges abhängig, so handelt es sich um einen nichtholonomen Raum von der Fundamentalgruppe \(\boldsymbol G\), und die Gesamtheit aller allen geschlossenen Wegen in \(\mathfrak E\) zwecks Reduktion auf den “status quo ante” zuzuordnenden Transformartionen aus \(\boldsymbol G\) bildet eine nicht triviale Untergruppe \(g\) der Fundamentalgruppe -die Holonomiegruppe des Raumes \(\mathfrak E\).
Die bisher eingeführten Begriffe sind naturgemäß unabhängig von der besonderen Wahl der Bezugssysteme (Variablensysteme der Fundamentalgruppe). Deren Wechsel ist ja jeweils durch eine Transformation \(S\) der Gruppe \(\boldsymbol G\) gegeben, vermöge welcher einfach die Holonomiegruppe \(g\) von \(\mathfrak E\) durch die ähnliche \(S^{-1} gS\) zu ersetzen ist. Bezugssysteme, welche durch eine Transformation der Fundamentalgruppe auseinander hervorgehen, heißen Normalsysteme. Nunmehr äußert sich auch im nichtholonomen Falle eine gewisse Homogenität des Raumes \(\mathfrak E\): Die Holonomiegruppen, welche zwei verschiedenen Punkten von \(\mathfrak E\) zugeordnet sind, sind ähnlich, also im wesentlichen identisch für alle Punkte von \(\mathfrak E\). Man kann dann, wie Verf. näher ausführt, in jedem Punkte eines nichtholonomen Raumes \(\mathfrak E\) von der Fundamentalgruppe \(\boldsymbol G\) und der Holonomie \(g\) ein Normalsystem derart wählen, daß sein analytischer Zusammenhang, d.h. das Verknüpfungsgesetz seiner holonomen Tangentialräume (dessen erzeugende Infinitesimaltransformationen), derselbe ist wie der eines Raumes von der Fundamentalgruppe g. Im Falle einer invarianten Holonomiegruppe \(g\) fallen sämtliche zu \(g\) ähnliche Gruppen mit \(g\) zusammen. Dann gehört also (unabhängig von der Wahl des Bezugssystems) die mit irgendeinem infinitesimalen Umlauf verknüpfte infinitesimale Transformation stets zu \(g\). Gehören umgekehrt alle derartigen infinitesimalen Transformationen zu einer invarianten Untergruppe \(g\) von \(\boldsymbol G\), so ist die Holonomiegruppe des Raumes \(g\) oder eine Untergruppe von \(g\). Sind nun \[ X_1f,X_2f,\ldots,X_rf \] die Erzeugenden der Gruppe \(\boldsymbol G\) und \[ X_1f,X_2f,\ldots,X_{\varrho}f \] diejenigen der Untergruppe \(g\), so führt die Untersuchung, ob \(g\) Holonomiegruppe von \(\mathfrak E\) ist oder nicht, auf ein System Pfaffscher Bedingungsgleichungen der Gestalt \[ \omega_{\varrho+1}=\omega_{\varrho+2}=\cdots=\omega_r=0 \] mit Integrabilitätsbedingungen der Gestalt \[ \varOmega_{\varrho+1}=\varOmega_{\varrho+2}=\cdots=\varOmega_r=0, \] vermöge deren die r Parameter \(v_1, v_2, \ldots, v_r\) des allgemeinsten Bezugssystems in einem jeden Punkt von \(\mathfrak E\) als Funktionen der Gaußschen Koordinaten \(u_1,u_2,\ldots,u_n\) von \(\mathfrak E\) zu bestimmen sind. Ist dies unmöglich (im Falle sich die Pfaffschen Gleichungen widersprechen), so ist \(g\) nicht Holonomiegruppe von \(\mathfrak E\), andernfalls ist \(g\) Holonomiegruppe und als solche insbesondere invariante Holonomiegruppe, wenn das Pfaffsche System identisch erfüllt ist – also die Wahl der Parameter \(v_1, v_2, \ldots, v_r\) völlig frei bleibt.
Nunmehr zeigt Verf. die Tragweite und heuristische Kraft der neu gewonnenen Begriffe an einer Reihe von Klassen nichtholonomer Räume von zwei und drei Dimensionen, beginnend mit der Theorie metrischer zweidimensionaler torsionsfreier Räume, deren Fundamentalgruppe \(\boldsymbol G\) durch die Gruppe der “ebenen” Bewegungen und Ähnlichkeiten gegeben ist. Gemäß der Voraussetzung verschwindender Torsion muß die Holonomiegruppe der in Frage kommenden Raumklassen mindestens eine (nicht triviale) infinitesimale Transformation enthalten, welche einen willkürlichen Punkt des Raumes invariant läßt. Man erhält die Gruppentafeln \[ xp, yq, p, q \qquad xp+myq, p, q\qquad xp, p. \] Unter den zugehörigen Räumen \(\mathfrak E\) finden sich speziell die gewöhnlichen Flächen \((m = -1)\) sowie zwei Typen Weylscher Flächen, deren quadratische und lineare Fundamentalformen Verf. explizit angibt (sie hängen beide von einer willkürlichen Funktion zweier Argumente ab). Der “homothetische” Spezialfall der Holonomiegruppe \[ xp+yq,p,q \] führt auf eine Raumklasse, in welcher ein absoluter Richtungsparallelismus eingeführt werden kann. Für die torsionsfreien dreidimensionalen metrischen Räume findet Verf. bereits zwölf mögliche Holonomiegruppen (die Fundamentalgruppe ist durch die siebenparametrige Gruppe der Bewegungen und Ähnlichkeiten des gewöhnlichen euklidischen Raumes gegeben), unter welchen sich fünf Holonomiegruppen Riemannscher Räume finden, deren Transformationen die Bewegungsgruppe oder eine ihrer Untergruppen bilden. Der Fall von Holonomieuntergruppen der Bewegungsgruppe wird von besonderem Interesse. So führt die fünfparametrige Holonomiegruppe \[ zq-xr, xp-yq,p,q,r \] auf die ternäre quadratische Differentialform: \[ ds^2 = dw^2 + 2u\, du\, dv + H (u, v, w) du^2 \] von der Klasse 2, welche also auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten des euklidischen fünfdimensionalen Raumes realisiert werden kann. Die dreiparametrige Holonomiegruppe der Drehungen um einen festen Punkt \[ yr - zq, \quad zp-xr,\quad xq-yp \] führt auf die ternäre quadratische Differentialform \[ ds^2 = dw^2+ w^2d\sigma^2\quad (d\sigma^2 \;\text{beliebige binäre quadratische Differentialform}), \] realisierbar durch Hyperkegel im euklidischen vierdimensionalen Raum. Zwei weitere dreiparametrige Holonomiegruppen erhält man durch die Forderung einer isotropen oder anisotropen Fixebene. Im ersten Falle ergibt sich dabei die ternäre quadratische Differentialform \[ ds^2 = dw^2 + 2\, du\, dv + H(u, w) du^2, \] realisierbar durch isotrope Hyperzylinder im euklidischen vierdimensionalen Raum, im zweiten: \(ds^2 = dw^2+ d\sigma^2\).
In ähnlicher Weise gelingt die Klassifikation der Weylschen dreidimensionalen Räume nach den möglichen Holonomiegruppen. In allen Fällen gewinnt Verf. die kanonische Gestalt der quadratischen und linearen Differentialform der entsprechenden Raumklassen. Dabei erweisen sich die Weylschen dreidimensionalen Räume mit vierparametrigen Holonomiegruppen als eine allgemeinere Klasse (abhängig von zwei willkürlichen Funktionen dreier Argumente) als diejenigen mit fünfparametriger Holonomiegruppe (abhängig von einer willkürlichen Funktion dreier Argumente).
In einem weiteren Abschnitt behandelt Verf. die dreidimensionalen konformen “Normalräume”, deren Fundamentalgruppe durch die konforme Gruppe gegeben und deren einem beliebigen infinitesimalen Umlauf zugeordnete Infinitesimaltransformation im Ursprung des Umlaufs von zweiter Ordnung ist. Ihre Holonomiegruppe ist sechsparametrig mit einer isotropen Fixgeraden. Nun ist die konforme Gruppe isomorph zur Gruppe eines linearen Komplexes. Man kann daher das geometrische Problem zunächst in die projektivliniengeometrische “Sprache” übersetzen, um auf dem Umweg über die bekannten invarianten Elemente dort die invarianten Elemente hier zu gewinnen. Dabei ergibt sich: Die gesuchte Holonomiegruppe läßt invariant entweder einen Punkt, oder eine Kugel oder einen Kreis oder eine isotrope Gerade. Tatsächlich tritt nur der letzte Fall auf, da die Fälle invarianter Punkte, Kugeln oder Kreise dem Charakter eines konformen Normalraumes widersprechen. Die weitere Behandlung dieser Raumklasse führt auf zahlreiche interessante geometrische Eigenschaften. So untersucht Verf. das zweiparametrige Kugelsystem auf Räumen \(\mathfrak E\) dieser Art, bestimmte Kreise auf \(\mathfrak E\) wie auch Kurven, welche daselbst die Rolle isotroper Geraden spielen und anderes mehr.
Mit ähnlichen Methoden und Erfolgen behandelt Verf. ferner Ebenen von projektivem “Normal-Zusammenhang”, deren fünfparametrige Holonomiegruppe wiederum nicht die allgemeine projektive Gruppe ist, sondern der Begriffsbestimmung entsprechend, wonach die einem infinitesimalen Umlauf zugeordnete Infinitesimaltransformation in dessen Ursprung von zweiter Ordnung sein soll, eine Infinitesimaltransformation besitzt, welche einen willkürlichen Punkt invariant läßt und in diesem von zweiter Ordnung ist.
Bei allen erwähnten Raumklassen hatte sich Verf. naturgemäß auf Räume mit einfachem Zusammenhang beschränkt. Läßt man, um die Theorie der Holonomiegruppen auch topologisch zu verwerten, diese Voraussetzung fallen, so kann vor allem der Fall eintreten, daß, obwohl die einem beliebigen infinitesimalen Umlauf in \(\mathfrak E\) zugeordnete Infinitesimaltransformation stets zu einer invarianten Untergruppe \(g\) von \(\boldsymbol G\) gehört, gleichwohl die Holonomiegruppe des Raumes nicht mit g oder deren Untergruppen identisch ist. Auch dafür gibt Verf. mehrere interessante Beispiele wie Drehzylinder, Torusflächen mit euklidischem, “Weylsche” Zylinder mit metrischem Zusammenhang, darunter auch einen völlig krümmungsfreien Raum mit metrischem Zusammenhang, welcher gleichwohl kein Riemannscher Kaum ist. (V 2.)

Reviewer: Pinl, M., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.

References:

[1]	C. R. Acad. Sc. Paris, t. 174, 1922, p. 437, 593, 734, 857, 1104;Ann. Ec. Norm. sup., 3e série, t. 40, 1923, p. 325–412; t. 41, 1924, p. 1–25; t. 42, 1925, p. 17 sqq.;Ann. Soc. pol. de Math., t. 2, 1923, p. 171–221;Bull. Soc. Math. de France, t. 52, 1924, p. 205–241;Bull. Sc. Math., t. 48, 1924, p. 294–320;Enseign. math., 1924–5, p. 5–18.
[2]	Le motespace s’oppose ici au motcontinuum; le premier éveille l’idée d’une organisation géométrique qui n’existe pas (ou qui n’existe qu’à un degré rudimentaire) dans le second.
[3]	On pourrait plus généralement supposer que le nombre des variables deG est différent du nombre des dimensions du continuum.
[4]	Ann. Ec. Norm. sup., t. 42, 1925, p. 19. V. spécialement le chapitre VI, p. 18–29.
[5]	Cette conférence a paru dansl’Enseignement mathématique, loc. cit.
[6]	Cf.E. Cartan,Ann. Ec. Norm. Sup., 3e série, t. 40, 1923, p. 383–390.
[7]	Voir, an sujet de ces espaces, le mémoire cité plus haut desAnn. Soc. pol. de Math., t. 2, 1923, p. 171–221.
[8]	Les notations sont en concordances avec celles qui ont été employées pour désigner les transformations infinitésimales du groupe d’holonomie. Pour les mettre d’accord avec les notations covariantes du calcul différentiel absolu, il faudrait érire
[9]	Voir le mémoire cité,Bull. Sc. Math. de France, t. 52, 1924, p. 205–241.
[10]	E. Cartan,Leçons sur les Invariants intégraux. Paris, Hermann, 1922, No 8o, p. 76.
[11]	On passe en effet des formules générales (16) aux formules (15) en posant La nécessité d’une quadrature pour donner au plan la connexion correspondant au groupe d’holonomieg tiet à ce due ce groupe est invariant dans un groupeg’ à 1 paramètre de plus.