Some properties of enumeration in the theory of modular systems. (English) JFM 53.0104.01

Macaulay, F. S.

Proceedings L. M. S. (2) 26, 531-555 (1927).

Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen aufgestellt dafür, daß zu einer vorgegebenen Zahlenreihe \(D_0\), \(D_1,\ldots \), \(D_\nu,\ldots \), ein homogenes Polynomideal \(\mathfrak a\) in \(n\) Unbestimmten existiert, derart, daß \(D_\nu \) die Anzahl der linear unabhängigen Polynome \(\nu \)-ten Grades aus \(\mathfrak a\) bedeutet. Das Problem wird zurückgeführt auf den Fall eines aus Potenzprodukten abgeleiteten Ideals \(\mathfrak m\) dadurch, daß gezeigt wird, daß zu jedem Ideal \(\mathfrak a\) ein solches \(\mathfrak m\) mit gleichen \(D\) existiert.
Mit den \(D_\nu \) sind die \(H_\nu \) – Anzahl der linear unabhängigen Restklassen – gegeben; die Überlegungen führen daher zu einem neuen Ausdruck für die Hilbertsche charakteristische Funktion, der zugleich die den \(H\) aufzuerlegenden Beschränkungen explicite zeigt.
Schließlich wird für spezielle Klassen von Idealen eine Methode zur Berechnung der \(D\) – bei vorgegebener Basis – angegeben. Der Fall inhomogener Polynomideale ist, wie gezeigt wird, leicht auf den homogenen zurückführbar; die Resultate sind also auch für diesen Fall gewonnen.

Reviewer: Noether, E., Prof. (Göttingen)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 4. Algebraische Theorie der Formen.